Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Геометрические неравенства
>>
Неравенства для элементов треугольника.
Подтемы:
- Неравенства с медианами (31 задача)
- Неравенства с высотами (17 задач)
- Неравенства с биссектрисами (14 задач)
- Длины сторон (неравенства) (23 задачи)
- Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями (27 задач)
- Симметричные неравенства для углов треугольника (10 задач)
- Неравенства для углов треугольника (34 задачи)
- Неравенства для площади треугольника (16 задач)
- Против большей стороны лежит больший угол (122 задачи)
- Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны (16 задач)
- Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников (45 задач)
- Неравенства для остроугольных треугольников (16 задач)
- Неравенства для элементов треугольника (прочее) (43 задачи)
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Высота трапеции ABCD равна 7, основания AD и BC равны соответственно 8 и 6. Через точку E, лежащую на стороне CD, проведена прямая BE, которая делит диагональ AC в точке O в отношении AO : OC = 3 : 2. Найдите площадь треугольника OEC.
Докажите, что для чисел Люка Ln (см. задачу 60585) выполнено соотношение
Бумажный прямоугольный треугольник перегнули по прямой так, что вершина прямого угла совместилась с другой вершиной.
а) В каком отношении делятся диагонали полученного четырёхугольника их
точкой пересечения?
б) Полученный четырёхугольник разрезали по диагонали, выходящей из третьей вершины исходного треугольника. Найти площадь наименьшего образовавшегося куска бумаги.
Дан треугольник ABC. Найдите внутри его точку O, для которой сумма
длин отрезков OA, OB, OC минимальна. (Обратите внимание на тот
случай, когда один из углов треугольника больше
120o.)
Круг разделен на 6 секторов и в них по часовой стрелке расставлены числа: 1, 0, 1, 0, 0, 0. Разрешается прибавить по единице к числам в любых двух соседних секторах. Можно ли такими операциями добиться того, чтобы все числа в секторах были одинаковыми?
В основании треугольной пирамиды NKLM лежит правильный треугольник KLM . Высота пирамиды, опущенная из вершины N , проходит через середину ребра LM . Известно, что KL = a , KN = b . Пирамиду пересекает плоскость β , параллельная рёбрам KN и LM . На каком расстоянии от вершины N должна находиться плоскость β , чтобы площадь сечения пирамиды этой плоскостью была наибольшей?
Бумажная прямоугольная полоска помещается внутри данного круга. Полоску согнули (не обязательно пополам). Докажите, что после сгибания полоску можно также разместить в этом круге.
Почтальон Печкин не хотел отдавать посылку. Тогда Матроскин предложил ему сыграть в следующую игру: каждым ходом Печкин пишет в строку слева направо буквы, произвольно чередуя М и П, пока в строке не будет всего 11 букв. Матроскин после каждого его хода, если хочет, меняет местами любые две буквы. Если в итоге окажется, что записанное слово является палиндромом (то есть одинаково читается слева направо и справо налево), то Печкин отдаёт посылку. Сможет ли Матроскин играть так, чтобы обязательно получить посылку?
Трапеция AEFG (EF || AG) расположена в квадрате ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD соответственно. Диагонали AF и EG перпендикулярны, EG = 10. Найдите периметр трапеции.
Известно, что число 2n для некоторого натурального n является суммой двух точных квадратов.
Докажите, что n также является суммой двух точных квадратов.
Выпуклый $n$-угольник ($n$ > 4) обладает таким свойством: если диагональ отсекает от него треугольник, то этот треугольник равнобедренный. Докажите, что среди любых четырёх сторон этого n-угольника есть хотя бы две равных.
В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?
Можно ли представить число $11^{2018}$ в виде суммы кубов двух натуральных чисел?
Существует ли набор чисел, сумма которых равна 1, а сумма их квадратов меньше 0,01?
Функция f(x) определена для всех действительных чисел, причем для любого x выполняются равенства f(x + 2) = f(2 – x) и f(x + 7) = f(7 – x).
Докажите, что f(x) – периодическая функция.
Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус
вписанной окружности. Докажите, что
<
+
<
.
Задачи Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 375]
Задача 55155 |
|
|
Докажите, что расстояние между любыми двумя точками, взятыми на сторонах треугольника, не больше наибольшей из его сторон.
|
|
Решение |
Задача 55194 |
|
|
Пусть a, b, c — стороны произвольного треугольника. Докажите, что a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ac)
|
|
|
Решение |
Задача 55211 |
|
|
Пусть h1 и h2 — высоты треугольника, r — радиус
вписанной окружности. Докажите, что
<
+
<
.
|
|
Решение |
Задача 55222 |
|
|
Проведите через вершину A остроугольного треугольника ABC прямую так, чтобы она не пересекала сторону BC и чтобы сумма расстояний до неё от вершин B и C была наибольшей.
|
|
|
Решение |
Задача 55160 |
|
Докажите,что площадь любого четырёхугольника ABCD не
превосходит
(AB . BC + AD . DC).
|
|
|
Решение |
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 375]
