Фильтр
Выбрано 25 задач Убрать все задачи
Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы $a(x) + b(x)$, где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
а) ровно одним способом?
б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по углу, противолежащей стороне и разности двух других сторон.
В выпуклом 2002-угольнике провели несколько диагоналей, не пересекающихся внутри 2002-угольника. В результате 2002-угольник разделился на 2000 треугольников. Могло ли случиться, что ровно у половины этих треугольников все стороны являются диагоналями этого 2002-угольника?
Постройте треугольник ABC по углам A и B и разности сторон AC и BC.
Пять отрезков таковы, что из любых трех из них
можно составить треугольник. Докажите, что хотя бы один из этих
треугольников остроугольный.
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
Докажите, что середины всех хорд данной длины, проведённых в данной окружности, лежат на некоторой окружности.
Докажите, что треугольник ABC остроугольный тогда и
только тогда, когда длины его проекций на три различных направления
равны.
Докажите, что радикальная ось двух пересекающихся
окружностей проходит через точки их пересечения.
Постройте треугольник АВС по углу А и медианам, проведенным из вершин В и С.
Прямоугольный треугольник ABC движется по плоскости так, что его вершины B и C скользят по сторонам данного прямого угла. Доказать, что множеством точек A является отрезок и найти его длину.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности.
Многочлен p и число a таковы, что для любого числа x верно равенство p(x) = p(a – x).
Докажите, что p(x) можно представить в виде многочлена от (x – a/2)².
Стороны AB и CD выпуклого четырёхугольника ABCD площади S не параллельны.
Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри четырёхугольника, для которых SABX + SCDX = S/2.
При каких целых значениях m число Р = 1 + 2m + 3m2 + 4m3 + 5m4 + 4m5 + 3m6 + 2m7 + m8 является квадратом целого числа?
Даны окружность $\omega$ и точки $A$ и $B$ на ней. Пусть $C$ – произвольная точка на одной из дуг $AB$ этой окружности, $CL$ – биссектриса треугольника $ABC$, окружность $BCL$ пересекает $AC$ в $E$, а $CL$ пересекает $BE$ в $F$. Найдите геометрическое место центров окружностей $AFC$.
Верно ли, что два треугольника ABC и A'B'C' равны, если AB =A'B', BC = B'C', и ∠A = ∠A'?
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность, причём ∠B + ∠E = ∠C + ∠D. Докажите, что ∠CAD < π/3 < ∠A.
Через данную точку окружности проведите хорду, которая бы делилась данной хордой пополам.
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC
и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD
и EF имеют общую радикальную ось, причем на
ней лежат ортоцентры треугольников
ABE, CDE, ADF и BCF.
С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по радиусу описанной окружности и высоте и медиане, проведённым из одной вершины.
Точки A, B, C, D лежат на одной прямой. Докажите, что если треугольники ABE1 и ABE2 равны, то треугольники CDE1 и CDE2 тоже равны.
На стороне BC треугольника ABC взята точка A'.
Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB
в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C
пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка,
симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты
точки A1 и B1; l — прямая, проходящая через общие точки
окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот
треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C,
когда
AB1 : AC = BA1 : BC.
Задачи Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 125]
Задача 56721 |
|
|
На окружности S с диаметром AB взята точка C, из точки C опущен
перпендикуляр CH на прямую AB. Докажите, что общая хорда окружности S и
окружности S1 с центром C и радиусом CH делит отрезок CH пополам.
|
|
Решение |
Задача 56722 |
|
|
На сторонах BC и AC треугольника ABC взяты
точки A1 и B1; l — прямая, проходящая через общие точки
окружностей с диаметрами AA1 и BB1. Докажите, что:
а) прямая l проходит через точку H пересечения высот
треугольника ABC;
б) прямая l тогда и только тогда проходит через точку C,
когда
AB1 : AC = BA1 : BC.
|
|
Решение |
Задача 56723 |
|
|
Продолжения сторон AB и CD четырехугольника ABCD
пересекаются в точке F, а продолжения сторон BC
и AD — в точке E. Докажите, что окружности с диаметрами AC, BD
и EF имеют общую радикальную ось, причем на
ней лежат ортоцентры треугольников
ABE, CDE, ADF и BCF.
|
|
|
Решение |
Задача 56724 |
|
|
Три окружности попарно пересекаются в точках A1
и A2, B1 и B2, C1 и C2. Докажите, что
A1B2 . B1C2 . C1A2 = A2B1 . B2C1 . C2A1.
|
|
|
Решение |
Задача 56725 |
|
|
На стороне BC треугольника ABC взята точка A'.
Серединный перпендикуляр к отрезку A'B пересекает сторону AB
в точке M, а серединный перпендикуляр к отрезку A'C
пересекает сторону AC в точке N. Докажите, что точка,
симметричная точке A' относительно прямой MN, лежит на
описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 125]
