Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия >> Системы точек и отрезков >> Центр масс
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

С помощью циркуля и линейки постройте четырёхугольник по диагоналям, углу между ними и двум каким-нибудь сторонам.

Вниз   Решение

Все рёбра пирамиды ABCD равны между собой. Нарисуйте изображение пирамиды ABCD , полученное в результате ортогонального проектирования на плоскость, параллельную AB и CD .

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
  а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
  б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?

ВверхВниз   Решение

На прямой l в пространстве последовательно расположены точки A , B и C , причём AB = 10 и BC = 22 . Найдите расстояние между прямыми l и m , если если расстояния от точек A , B и C до прямой m равны 12, 13 и 20 соответственно.

ВверхВниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В море плавает предмет, имеющий форму выпуклого многогранника.
Может ли случиться, что 90% его объёма находится ниже уровня воды и при этом больше половины его поверхности находится выше уровня воды?

ВверхВниз   Решение

Пусть ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) — абсолютные барицентрические координаты точки X; M — центр масс треугольника ABC. Докажите, что 3$ \overrightarrow{XM}$ = ($ \alpha$ - $ \beta$)$ \overrightarrow{AB}$ + ($ \beta$ - $ \gamma$)$ \overrightarrow{BC}$ + ($ \gamma$ - $ \alpha$)$ \overrightarrow{CA}$.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = $ \alpha$ и  BL : LC = AN : ND = $ \beta$. Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = $ \alpha$ и  KP : PM = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение

Точка X лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают сторону AB в точках K и L соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки X равны (BL : AK : LK).

ВверхВниз   Решение

Автор: Прасолов В.В.

В таблицу записано девять чисел:

Известно, что шесть чисел – суммы строк и суммы столбцов таблицы – равны между собой:
a1 + a2 + a3 = b1 + b2 + b3 = c1 + c2 + c3 = a1 + b1 + c1 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3.
Докажите, что сумма произведений строк таблицы равна сумме произведений её столбцов:   a1b1c1 + a2b2c2 + a3b3c3 = a1a2a3 + b1b2b3 + c1c2c3.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если расстояния между скрещивающимися рёбрами тетраэдра равны h1, h2, h3, то его объём не меньше ⅓ h1h2h3.

ВверхВниз   Решение

Нарисуйте изображение куба, полученное в результате ортогонального проектирования куба на плоскость, перпендикулярную: а) одному из рёбер; б) диагонали одной из граней.

ВверхВниз   Решение

Автор: Меркурьев А.С.

Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AC в точке D, DM — диаметр окружности. Прямая BM пересекает сторону AC в точке K. Докажите, что AK = DC.

ВверхВниз   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей d'. Докажите, что d' < 2d.

ВверхВниз   Решение

Ортогональные проекции треугольника ABC на две взаимно перпендикулярные плоскости являются правильными треугольниками со сторонами 1. Найдите периметр треугольника ABC , если известно, что AB = .

ВверхВниз   Решение

Две окружности касаются в точке K. Прямая, проходящая через точку K, пересекает эти окружности в точках A и B. Докажите, что касательные к окружностям, проведенные через точки A и B, параллельны.

ВверхВниз   Решение

Дана замкнутая ломаная, причем любая другая замкнутая ломаная с теми же вершинами имеет большую длину. Докажите, что эта ломаная несамопересекающаяся.

ВверхВниз   Решение

Выпуклый n-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины A, B и C этого n-угольника, что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n2; б) 16$ \pi$/n3.

ВверхВниз   Решение

Прожектор освещает угол величиной 90o. Докажите, что в любых четырех заданных точках можно разместить 4 прожектора так, что они осветят всю плоскость.

ВверхВниз   Решение

Даны вершины A и C равнобедренной описанной трапеции ABCD (AD| BC); известны также направления ее оснований. Постройте вершины B и D.

ВверхВниз   Решение

Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

Задача 57780

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Точка X лежит внутри треугольника ABC. Прямые, проходящие через точку X параллельно AC и BC, пересекают сторону AB в точках K и L соответственно. Докажите, что барицентрические координаты точки X равны (BL : AK : LK).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57752

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 3+
Классы: 9

Пусть A1, B1,..., F1 — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A1C1E1 и B1D1F1 совпадают.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57751

Темы:   [ Теорема о группировке масс ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, K, L, M и N — середины сторон AB, BC, CD и DA. Докажите, что точка пересечения отрезков KM и LN является серединой этих отрезков, а также и серединой отрезка, соединяющего середины диагоналей.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57753

Тема:   [ Теорема о группировке масс ]
Сложность: 4
Классы: 9

Докажите теорему Чевы (задача 4.48, б)) с помощью группировки масс.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57767

Тема:   [ Момент инерции ]
Сложность: 4
Классы: 9

а) Треугольник ABC правильный. Найдите геометрическое место таких точек X, что AX2 = BX2 + CX2.
б) Докажите, что для точек указанного ГМТ подерный треугольник относительно треугольника ABC прямоугольный.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 79]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .