Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Математический анализ >> Функции одной переменной. Непрерывность >> Монотонность, ограниченность
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 20 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

а) Пусть $ \varepsilon$ = $ {\frac{1}{2}}$ + $ {\frac{i\sqrt{3}}{2}}$. Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $ \varepsilon^{2}_{}$b + $ \varepsilon^{4}_{}$c = 0 или a + $ \varepsilon^{4}_{}$b + $ \varepsilon^{2}_{}$c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a2 + b2 + c2 = ab + bc + ac.

Вниз   Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника BCD. Докажите, что прямая Симсона точки B относительно треугольника ACD перпендикулярна прямой Эйлера треугольника ACD.

ВверхВниз   Решение

Основанием параллелепипеда служит квадрат. Одна из вершин верхнего основания равноудалена от всех вершин нижнего основания и находится на расстоянии b от этого основания. Сторона основания равна a . Найдите полную поверхность параллелепипеда.

ВверхВниз   Решение

В окружность вписаны две равнобедренные трапеции с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагональ одной из них равна диагонали другой трапеции.

ВверхВниз   Решение

Автор: Скопенков М.Б.

Целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

ВверхВниз   Решение

Постройте треугольник по высоте, опущенной на одну из сторон, и медианам, проведённым к двум другим сторонам.

ВверхВниз   Решение

Трёхчлен  ax² + bx + c  при всех целых x является точным квадратом. Доказать, что тогда  ax² + bx + c = (dx + e)².

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек X, лежащих внутри трапеции ABCD ( BC || AD) или на её сторонах, если известно, что S$\scriptstyle \Delta$XAB = S$\scriptstyle \Delta$XCD.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в любом треугольнике точка H пересечения высот (ортоцентр), центр O описанной окружности и точка M пересечения медиан (центр тяжести) лежат на одной прямой, причём точка M расположена между точками O и H, и MH = 2MO.

ВверхВниз   Решение

Даны треугольник ABC и прямая l, проходящая через центр O вписанной окружности. Обозначим через A1 (соответственно B1, C1) основание перпендикуляра, опущенного на прямую l из точки A (соответственно B, C), а через A2 (соответственно B2, C2) обозначим точку вписанной окружности, диаметрально противоположную точке касания со стороной BC (соответственно CA, AB). Докажите, что прямые A1A2, B1B2, C1C2, пересекаются в одной точке, и эта точка лежит на вписанной окружности.

ВверхВниз   Решение

Углы треугольника равны α, β и γ, а периметр равен P. Найдите стороны треугольника.

ВверхВниз   Решение

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az$\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$$\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что многочлен вида  x200y200 + 1  нельзя представить в виде произведения многочленов от одного только x и одного только y.

ВверхВниз   Решение

Найдите геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до двух данных прямых имеет данную величину.

ВверхВниз   Решение

Автор: Богданов И.И.

В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
∠A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.
  а) Чему могут равняться эти углы?
  б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.
  в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.

ВверхВниз   Решение

По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?

ВверхВниз   Решение

Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке O. Периметр треугольника ABC равен периметру треугольника ABD, а периметр треугольника ACD – периметру треугольника BCD. Докажите, что  AO = BO.

ВверхВниз   Решение

Автор: Мурашкин М.В.

Многочлен степени  $n > 1$  имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство $$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$

ВверхВниз   Решение

Автор: Кожевников П.А.

Секущая пересекает первую окружность в точках $A_1, B_1$, а вторую – в точках $A_2, B_2$. Вторая секущая пересекает первую окружность в точках $C_1, D_1$, а вторую – в точках $C_2, D_2$. Докажите, что точки $A_1C_1\cap B_2D_2$, $A_1C_1\cap A_2C_2$, $A_2C_2\cap B_1D_1$, $B_2D_2\cap B_1D_1$ лежат на одной окружности, соосной с данными двумя.

ВверхВниз   Решение

Автор: Волчкевич М.А.

На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

Задача 98588

Темы:   [ Тригонометрические неравенства ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Автор: Колосов В.

Пусть x, y, z – любые числа из интервала  (0, π/2).  Докажите неравенство  

Прислать комментарий     Решение

Задача 98505

Темы:   [ Рациональные функции (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Скопенков М.Б.

Целые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство

выполнено при всех целых значениях x, входящих в область определения дроби, стоящей в левой части.
  a) Докажите, что число n чётно.
  б) При каком наименьшем n такие числа существуют?

Прислать комментарий     Решение

Задача 65855

Темы:   [ Теорема синусов ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Волчкевич М.А.

На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 67002

Темы:   [ Квадратный трехчлен (прочее) ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Лопатников А.А.

Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)
Прислать комментарий     Решение

Задача 109565

Темы:   [ Иррациональные уравнения ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Монотонность, ограниченность ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Галочкин А.И.

Докажите, что если (x+)(y+)=1 , то x+y=0 .
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 23]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .