Подтемы:
- Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (30 задач)
- Векторы сторон многоугольников (16 задач)
- Скалярное произведение. Соотношения (37 задач)
- Неравенства с векторами (16 задач)
- Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число (41 задача)
- Вспомогательные проекции (24 задачи)
- Метод усреднения (10 задач)
- Псевдоскалярное произведение (12 задач)
- Векторы помогают решить задачу (100 задач)
- Векторы (прочее) (13 задач)
Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).
б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.
Два квадрата расположены так, как показано на рисунке. Докажите, что площади заштрихованных четырёхугольников равны.
Гриб называется плохим, если в нём не менее 10 червей. В лукошке 90 плохих и 10 хороших грибов. Могут ли все грибы стать хорошими после того, как некоторые черви переползут из плохих грибов в хорошие?
На урок физкультуры пришло $12$ детей, все разной силы. Учитель $10$ раз делил их на две команды по $6$ человек, каждый раз новым способом, и проводил состязание по перетягиванию каната. Могло ли оказаться так, что все $10$ раз состязание закончилось вничью (то есть суммы сил детей в командах были равны)?
Что больше: или
Пусть A1, B1 и C1 - основания перпендикуляров, опущенных из точки P на прямые BC, CA и AB. Треугольник A1B1C1 называют подерным (или педальным) треугольником точки P относительно треугольника ABC.
Пусть A1B1C1 — подерный треугольник точки P
относительно треугольника ABC. Докажите, что
B1C1 = BC . AP/2R,
где R — радиус описанной окружности треугольника ABC.
Из точки P опущены перпендикуляры PA1, PB1
и PC1 на стороны треугольника ABC. Прямая la соединяет
середины отрезков PA и B1C1. Аналогично определяются
прямые lb и lc. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной
точке.
Потроить треугольник по сторонам a, b и биссектрисе к стороне c lc.
Пусть a и n – натуральные числа, большие 1. Докажите, что если число an + 1 простое, то a чётно и n = 2k.
(Числа вида fk = 22k + 1 называются числами Ферма.)
Можно ли провести из одной точки на плоскости пять лучей так, чтобы среди образованных ими углов было ровно четыре острых?
Рассматриваются углы не только между соседними, но и между любыми двумя лучами.
Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.
Плоскость разбита на части несколькими прямыми, среди которых есть непараллельные. Те части, граница которых состоит из двух лучей, закрасили. После этого проведена ещё одна прямая. Докажите, что, независимо от положения новой прямой, по обе стороны от неё найдутся закрашенные точки.
Докажите, что:
а)
ma2 = (2b2 + 2c2 - a2)/4;
б)
ma2 + mb2 + mc2 = 3(a2 + b2 + c2)/4.
На графике многочлена с целыми коэффициентами отмечены две точки с целыми координатами.
Докажите, что если расстояние между ними – целое число, то соединяющий их отрезок параллелен оси абсцисс.
Сфера с центром в точке O проходит через вершины K , L и M
треугольной пирамиды KLMN и пересекает рёбра KN , LN и MN в
точках A , B , C соответственно. Известно, что NL = 14 , KN = 16
и MN:KL = 2:3 . Проекциями точки O на плоскости KLN , LMN и
KMN являются середины рёбер KL , LM и KM соответственно. Расстояние
между серединами рёбер KL и MN равно
. Найдите периметр
треугольника ABC .
В треугольнике ABC точки М и N – середины сторон АС и АВ соответственно. На медиане ВМ выбрана точка Р, не лежащая на CN. Оказалось, что
PC = 2PN. Докажите, что АР = ВС.
Две окружности пересекаются в точках $P$ и $R$. Через точку $P$ проведены прямые $l_1$, $l_2$. Прямая $l_1$ вторично пересекает окружности в точках $A_1$ и $B_1$. Касательные в этих точках к описанной окружности треугольника $A_1RB_1$ пересекаются в точке $C_1$. Прямая $C_1R$ пересекает $A_1B_1$ в точке $D_1$. Аналогично определены точки $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$. Докажите, что окружности $D_1D_2P$ и $C_1C_2R$ касаются.
Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что 2MN < AB.
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?
Задачи Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 241]
Задача 57681 |
|
|
а) Докажите, что из медиан треугольника можно составить треугольник.
б) Из медиан треугольника ABC составлен треугольник A1B1C1,
а из медиан треугольника A1B1C1 составлен треугольник A2B2C2.
Докажите, что треугольники ABC и A2B2C2 подобны, причем
коэффициент подобия равен 3/4.
|
|
Решение |
Задача 67035 |
|
|
В выпуклом 12-угольнике все углы равны. Известно, что длины каких-то десяти его сторон равны 1, а длина ещё одной равна 2. Чему может быть равна площадь этого 12- угольника?
|
|
Решение |
Задача 86977 |
|
|
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Найдите расстояние между прямыми BD1 и DC1 и постройте их общий перпендикуляр.
|
|
|
Решение |
Задача 97902 |
|
|
На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?
|
|
|
Решение |
Задача 116382 |
|
|
В выпуклом четырёхугольнике ABCD стороны равны соответственно: AB = 10, BC = 14, CD = 11, AD = 5. Найдите угол между его диагоналями.
|
|
|
Решение |
Страница: << 31 32 33 34 35 36 37 >> [Всего задач: 241]
