Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Методы >> Алгебраические методы >> Итерации
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Через точку на стороне четырёхугольника проведена прямая, параллельная диагонали, до пересечения с соседней стороной четырёхугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная другой диагонали, и т.д. Докажите, что пятая точка, полученная таким способом, совпадет с исходной.

Вниз   Решение

В треугольнике ABC известно, что $ \angle$B $ \geqslant$ 90o. На отрезке BC взяты точки M и N так, что лучи AN и AM делят угол BAC на три равные части. Докажите, что BM < MN < NC.

ВверхВниз   Решение

Можно ли нарисовать эту картинку (см. рис.), не отрывая карандаша от бумаги и проходя по каждой линии по одному разу?

ВверхВниз   Решение

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p1p2...pn;  затем вычисляется сумма  p1 + p2 + ... + pn + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

ВверхВниз   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Прямая, проходящая через точку A, пересекает окружности в точках M и N, отличных от A, а параллельная ей прямая, проходящая через B, — соответственно в точках P и Q, отличных от B. Докажите, что MN = PQ.

ВверхВниз   Решение

На прямоугольном торте лежит круглая шоколадка. Как разрезать торт на две равные части так, чтобы и шоколадка тоже разделилась ровно пополам?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что никакой выпуклый многоугольник нельзя разрезать на 100 различных правильных треугольников.

ВверхВниз   Решение

Из квадрата клетчатой бумаги размером 16×16 вырезали одну клетку. Докажите, что полученную фигуру можно разрезать на "уголки'' из трех клеток.

ВверхВниз   Решение

Дан мешок сахарного песка, чашечные весы и гирька в 1 г. Можно ли за 10 взвешиваний отмерить 1 кг сахара?

ВверхВниз   Решение

Автор: Гальперин Г.А.

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, 1/7, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

ВверхВниз   Решение

Автор: Акопян А.В.

Даны две единичные окружности ω1 и ω2, пересекающиеся в точках A и B. На окружности ω1 взяли произвольную точку M, а на окружности ω2 точку N. Через точки M и N провели ещё две единичные окружности ω3 и ω4. Обозначим повторное пересечение ω1 и ω3 через C, повторное пересечение окружностей ω2 и ω4 – через D. Докажите, что ACBD – параллелограмм.

ВверхВниз   Решение

Окружность радиуса r касается сторон многоугольника в точках  A1,..., An, причем длина стороны, на которой лежит точка Ai, равна ai. Точка X удалена от центра окружности на расстояние d. Докажите, что a1XA12 + ... + anXAn2 = P(r2 + d2), где P — периметр многоугольника.

ВверхВниз   Решение

Пусть CK — биссектриса треугольника ABC и AC > BC. Докажите, что угол AKC — тупой.

ВверхВниз   Решение

Авторы: Богданов И.И., Скопенков М.Б.

а) Торт имеет форму треугольника, в котором один угол в 3 раза больше другого. Коробка для торта имеет форму того же треугольника, но симметрична ему относительно некоторой прямой. Как разрезать торт на две части, которые можно будет (не переворачивая) уложить в эту коробку?

б) Та же задача для торта в форме тупоугольного треугольника, в котором тупой угол в 2 раза больше одного из острых углов.
(Торт и коробку считайте плоскими фигурами.)

ВверхВниз   Решение

На окружности длины 15 выбрано n точек, так что для каждой имеется ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояние измеряется по окружности). Докажите, что n делится на 10.

ВверхВниз   Решение

Можно ли поверхность единичного куба оклеить четырьмя треугольниками площади 1,5?

ВверхВниз   Решение

Автор: Макаров И.В.

Окружности ω1 и ω2 пересекаются в точках A и B. Точки K1 и K2 на ω1 и ω2 соответственно таковы, что K1A касается ω2, а K2A касается ω1. Описанная окружность треугольника K1BK2 пересекает вторично прямые AK1 и AK2 в точках L1 и L2 соответственно. Докажите, что точки L1 и L2 равноудалены от прямой AB.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Существует ли такое N и такие  N – 1  бесконечных арифметических прогрессий с разностями  2, 3, 4, ..., N,  что каждое натуральное число принадлежит хотя бы одной из этих прогрессий?

ВверхВниз   Решение

Автор: Мухин Д.Г.

Пусть C – одна из точек пересечения окружностей α и β. Касательная в этой точке к α пересекает β в точке B, а касательная в C к β пересекает α в точке A, причём A и B отличны от C, и угол ACB тупой. Прямая AB вторично пересекает α и β в точках N и M соответственно. Докажите, что  2MN < AB.

ВверхВниз   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) медианы AD и EC пересекаются в точке O. Отношение радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC, к радиусу окружности, вписанной в четырёхугольник ODBE, равно $ {\frac{2}{3}}$. Найдите отношение $ {\frac{AC}{BC}}$.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если внутри треугольника ABC существует точка D, для которой AD = AB, то AB < AC.

ВверхВниз   Решение

В некоторой школе каждый школьник знаком с 32 школьницами, а каждая школьница – с 29 школьниками. Кого в школе больше: школьников или школьниц и во сколько раз?

ВверхВниз   Решение

Может ли сумма 1000 последовательных нечётных чисел быть седьмой степенью натурального числа?

ВверхВниз   Решение

По окончании конкурса бальных танцев, в котором участвовали 7 мальчиков и 8 девочек, каждый (каждая) назвал (назвала) количество своих партнерш (партнеров): 3, 3, 3, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6. Не ошибся ли кто-нибудь из них?

ВверхВниз   Решение

На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1 перпендикулярно к AnA1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 70]      

  с решениями  

Задача 78067

Темы:   [ Системы точек ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 9

На окружности длины 15 выбрано n точек, так что для каждой имеется ровно одна выбранная точка на расстоянии 1 и ровно одна на расстоянии 2 (расстояние измеряется по окружности). Докажите, что n делится на 10.
Прислать комментарий     Решение

Задача 78092

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Итерации ]
Сложность: 3+
Классы: 11

На продолжениях сторон A1A2, A2A3, ..., AnA1 правильного n-угольника (n ≥ 5) A1A2...An построить точки B1, B2, ..., Bn так, чтобы B1B2 было перпендикулярно к A1A2, B2B3 перпендикулярно к A2A3, ..., BnB1 перпендикулярно к AnA1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61333

 [Метод Лобачевского]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Теорема Виета ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть многочлен  P(x) = xn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0  имеет корни  x1, x2, ..., xn,  причем  |x1| > |x2| > ... > |xn|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P0(x), P1(x), P2(x), ...,  что  P0(x) = P(x)  и многочлен Pk(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Прислать комментарий     Решение

Задача 61481

Темы:   [ Текстовые задачи (прочее) ]
[ Итерации ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Пять моряков высадились на остров и к вечеру набрали кучу кокосовых орехов. Дележ отложили на утро. Один из них, проснувшись ночью, угостил одним орехом мартышку, а из остальных орехов взял себе точно пятую часть, после чего лёг спать и быстро уснул. За ночь так же поступили один за другим и остальные моряки; при этом каждый не знал о действиях предшественников. На утро они поделили оставшиеся орехи поровну, но для мартышки в этот раз лишнего ореха не осталось. Каким могло быть наименьшее число орехов в собранной куче?

Прислать комментарий     Решение

Задача 79246

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Итерации ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

С натуральным числом K производится следующая операция: оно представляется в виде произведения простых сомножителей  K = p1p2...pn;  затем вычисляется сумма  p1 + p2 + ... + pn + 1.  С полученным числом производится то же самое, и т.д.
Доказать, что образующаяся последовательность, начиная с некоторого номера, будет периодической.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 70]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .