Подтемы:
- Метод координат в пространстве (94 задачи)
- Метод координат на плоскости (113 задач)
- Метод координат (прочее) (1 задача)
Фильтр
Выбрано 24 задачи Убрать все задачи
Существует ли 1000000 таких различных натуральных чисел, что никакая сумма нескольких из этих чисел не является полным квадратом?
Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведены диаметры AC и AD этих окружностей. Найдите модуль разности отрезков BC и BD, если расстояние между центрами окружностей равно a, а центры окружностей лежат по одну сторону от общей хорды AB.
Среди 25 жирафов, каждые два из которых различного роста, проводится конкурс "Кто выше?". За один раз на сцену выходят пять жирафов, а жюри справедливо (согласно росту) присуждает им места с первого по пятое. Каким образом надо организовать выходы жирафов, чтобы после семи выходов определить первого, второго и третьего призёров конкурса?
Найдите косинусы углов трапеции с основаниями 3 и 7 и боковыми сторонами 2 и 5.
Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
Имеется несколько чисел, каждое из которых меньше чем 1951. Общее наименьшее
кратное любых двух из них больше чем 1951.
Доказать, что сумма обратных величин этих чисел меньше 2.
Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(-2;0;3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1) , P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) .
В турнире участвовало 11 шахматистов: 4 – из России и 7 зарубежных. Каждый шахматист сыграл с каждым по две партии (выигрыш – 1 очко, ничья – 0,5 очка, поражение – 0). По окончании турнира оказалось, что все участники набрали различное количество очков, причем сумма очков, набранных россиянами, равна сумме очков, набранных иностранцами. Могло ли в тройке призеров не оказаться ни одного россиянина?
Можно ли замостить плоскость параболами, среди которых нет равных? (Требуется, чтобы каждая точка плоскости принадлежала ровно одной параболе и чтобы ни одна парабола не переводилась ни в какую другую параболу движением.)
Докажите, что при инверсии сохраняется угол между
окружностями (между окружностью и прямой, между прямыми).
Пусть L – точка пересечения симедиан остроугольного треугольника ABC, а BH – его высота. Известно, что ∠ALH = 180° – 2∠A.
Докажите, что ∠CLH = 180° – 2∠C.
Внутри треугольника ABC взята произвольная точка O и построены точки A1, B1 и C1, симметричные O относительно середин сторон BC, CA и AB. Докажите, что треугольники ABC и A1B1C1 равны и прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
На продолжении боковой стороны AB равнобедренного треугольника
ABC за вершину A взята точка D, причём AD = 2AB. Известно, что
BAC = 120o. Докажите, что треугольник BDC — равнобедренный.
Высотой пятиугольника назовём отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины на противоположную сторону, а медианой – отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. Известно, что в некотором пятиугольнике равны десять длин – длины всех высот и всех медиан. Докажите, что этот пятиугольник – правильный.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1 и BB1
и биссектрисы AA2 и BB2; вписанная окружность касается
сторон BC и AC в точках A3 и B3. Докажите, что
прямые
A1B1, A2B2 и A3B3 пересекаются в одной точке или
параллельны.
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, найдите тот,
у которого максимальна сумма квадратов длин сторон.
На сетке из равносторонних треугольников построен угол ACB (см. рисунок). Найдите его величину.
Точки A и A1, лежащие внутри окружности с
центром O, симметричны относительно точки O. Лучи AP и A1P1
сонаправлены, лучи AQ и A1Q1 тоже сонаправлены. Докажите,
что точка пересечения прямых P1Q и PQ1 лежит на прямой AA1.
(Точки P, P1, Q и Q1 лежат на окружности.)
На биссектрисе AA1 треугольника ABC выбрана точка X. Прямая BX пересекает сторону AC в точке B1, а прямая CX пересекает сторону AB в точке C1. Отрезки A1B1 и CC1 пересекаются в точке P, а отрезки A1C1 и BB1 пересекаются в точке Q. Докажите, что углы PAC и QAB равны.
В треугольнике ABC проведены высоты AH1, BH2 и CH3. Точка M – середина отрезка H2H3. Прямая AM пересекает отрезок H2H1 в точке K.
Докажите, что точка K принадлежит средней линии треугольника ABC, параллельной AC.
Из вершины тупого угла А треугольника АВС опущена высота AD. Проведена окружность с центром D и радиусом DA, которая вторично пересекает стороны AB и AC в точках M и N соответственно. Найдите AC, если AB = c, AM = m и AN = n.
На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD построены внутренним образом правильные треугольники ABK, BCL, CDM и DAN. Докажите, что середины сторон этих треугольников (не являющихся сторонами квадрата) и середины отрезков KL, LM, MN и NK образуют правильный двенадцатиугольник.
Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD .
Задачи Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 217]
Задача 87170 |
|
|
Составьте параметрические уравнения прямой, проходящей через точку M(-2;0;3) перпендикулярно плоскости, проходящей через точки A(-3;0;1) , P(-1;2;5) и Q(3;-4;1) .
|
|
Решение |
Задача 87184 |
|
|
Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите расстояние от точки D до плоскости ABC .
|
|
Решение |
Задача 87186 |
|
|
Даны точки A(1;0;1) , B(-2;2;1) , C(2;0;3) и D(0;4;-2) . Найдите угол между прямой AB и плоскостью BCD .
|
|
|
Решение |
Задача 87191 |
|
|
Даны точки M(2;-5;0) , N(3;0;4) , K(-2;2;0) и L(3;2;1) . Найдите расстояние от точки L до плоскости MNK .
|
|
|
Решение |
Задача 87470 |
|
|
Дан куб ABCDA1B1C1D1 с ребром a . Пусть M – середина ребра D1C1 . Найдите периметр треугольника A1DM , а также расстояние от вершины D1 до плоскости, проходящей через вершины этого треугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: << 33 34 35 36 37 38 39 >> [Всего задач: 217]
