Страница:
<< 28 29 30 31
32 33 34 >> [Всего задач: 260]
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Даны выпуклый многогранник и сфера, которая пересекает каждое ребро многогранника в двух точках. Точки пересечения со сферой делят каждое ребро на три равных отрезка. Обязательно ли тогда все грани многогранника:
а) равные многоугольники;
б) правильные многоугольники?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.
А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы
а) произвольного куба;
б) произвольного правильного тетраэдра?
(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A1, B1 и C1 соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A2, B2 и C2 симметричны точкам A1, B1 и C1 относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A2, B2 и C2 лежат на одной сфере.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Шарообразная планета окружена 37-ю точечными астероидами. Доказать, что в любой
момент на поверхности планеты найдётся точка, из которой астроном не сможет
наблюдать более 17 астероидов.
Примечание. Астероид, расположенный на линии
горизонта, не виден.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Какое количество $n$ из 16 одинаковых биллиардных шаров можно расположить в
пространстве так, чтобы каждый шар касался ровно трёх других?
Перечислите все возможные значения $n$.
Страница:
<< 28 29 30 31
32 33 34 >> [Всего задач: 260]
Фильтр
