Страница:
<< 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 136]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Четырехугольник
ABCD описан около окружности с центром
I . Докажите, что проекции точек
B и
D на прямые
IA и
IC
лежат на одной окружности.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных
сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых AB и DC, BC
и AD соответственно (точка A лежит на отрезке BE, а точка C — на
отрезке BF). Докажите, что четырёхугольник ABCD является описанным
тогда и только тогда, когда
EA + AF = EC + CF.
Пусть в выпуклом четырёхугольнике ABCD нет параллельных
сторон. Обозначим через E и F точки пересечения прямых AB и DC,
BC и AD соответственно (точка A лежит на отрезке BE, а точка
C — на отрезке BF). Докажите, что четырёхугольник ABCD является
описанным тогда и только тогда, когда
ED + BF = DF + BE.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Четырехугольник $ABCD$ описан около окружности $\omega$ с центром $I$. Прямые $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $P$, $AB$ и $CD$ – в точке $E$, $AD$ и $BC$ – в точке $F$. Точка $K$ на описанной окружности треугольника $EIF$ такова, что $\angle IKP=90^{\circ}$. Луч $PK$ пересекает $\omega$ в точке $Q$. Докажите, что описанная окружность треугольника $EQF$ касается $\omega$.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.
Страница:
<< 11 12 13 14 15 16 17 >> [Всего задач: 136]
Фильтр
