Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли такой невыпуклый многогранник, что из некоторой точки М, лежащей вне него, не видна ни одна из его вершин?
(Многогранник сделан из непрозрачного материала, так что сквозь него ничего не видно.)

 

   Решение

---

Каждая клетка шахматной доски закрашена в один из цветов – синий или красный. Докажите, что клетки одного из цветов обладают тем свойством, что их может обойти шахматный ферзь (на клетках этого цвета ферзь может побывать не один раз, на клетки другого цвета он не ставится, но может через них перепрыгивать).

   Решение

---

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

   Решение

Страница: << 362 363 364 365 366 367 368 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98312

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Процессы и операции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

В таблице из n столбцов и 2ⁿ строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98344

Темы:   [ Взвешивания ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Раскладки и разбиения ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Имеется набор гирь, веса которых в граммах: 1, 2, 4,... , 512 (последовательные степени двойки) – по одной гире каждого веса. Груз разрешается взвешивать с помощью этого набора, кладя гири на обе чашки весов.
  а) Докажите, что никакой груз нельзя взвесить этими гирями более чем 89 способами.
  б) Приведите пример груза, который можно взвесить ровно 89 способами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98376

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Подсчет двумя способами ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ] [ Барицентрические координаты ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

Каждая сторона правильного треугольника разбита на n равных отрезков, и через все точки деления проведены прямые, параллельные сторонам. Данный треугольник разбился на n² маленьких треугольников-клеток. Треугольники, расположенные между двумя соседними параллельными прямыми, образуют полоску.
  а) Какое наибольшее число клеток можно отметить, чтобы никакие две отмеченные клетки не принадлежали одной полоске ни по одному из трёх направлений, если  n = 10?
  б) Тот же вопрос для  n = 9.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98486

Темы:   [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

В круговом шахматном турнире каждый участник играет с каждым из остальных один раз. За выигрыш присуждается одно очко, за ничью – пол-очка, за проигрыш – ноль. Назовём партию неправильной, если выигравший её шахматист в итоге набрал очков меньше проигравшего.
  а) Докажите, что неправильные партии составляют меньше ¾ общего числа партий в турнире.
  б) Докажите, что в пункте а) число ¾ нельзя заменить на меньшее.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 107783

Темы:   [ Ломаные ] [ Доказательство от противного ] [ Шахматная раскраска ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

На плоскости нарисована замкнутая самопересекающаяся ломаная. Она пересекает каждое свое звено ровно один раз, причём через каждую точку самопересечения проходят ровно два звена. Может ли каждая точка самопересечения делить оба этих звена пополам? (Нет самопересечений в вершинах и звеньев с общим отрезком.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 362 363 364 365 366 367 368 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями