В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

   Решение

На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что  S_ABCD ≥ 3S_BCM.

   Решение

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.

   Решение

Правильный пятиугольник ABCDE со стороной a вписан в окружность S. Прямые, проходящие через его вершины перпендикулярно сторонам, образуют правильный пятиугольник со стороной b (см. рис.). Сторона правильного пятиугольника, описанного около окружности S, равна c. Докажите, что  a² + b² = c².

   Решение

Найдите предел  

   Решение

Пусть AC – большая из диагоналей параллелограмма ABCD. Из точки C на продолжения сторон AB и AD опущены перпендикуляры CE и CF соответственно. Докажите, что  AB·AE + AD·AF = AC².

   Решение

Докажите, что корни уравнения    где a, b, c – попарно различные комплексные числа, лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c, или на его сторонах (в случае вырожденного треугольника).

   Решение

В школе изучают 2n предметов. Все ученики учатся на 4 и 5. Никакие два ученика не учатся одинаково, ни про каких двух нельзя сказать, что один из них учится лучше другого. Доказать, что число учеников в школе не больше   .
(Мы считаем, что ученик p учится лучше ученика q, если у p оценки по всем предметам не ниже, чем у q, а по некоторым предметам – выше.)

   Решение

X и Y — два выпуклых многоугольника, причём многоугольник X содержится внутри Y. Пусть S(X) и S(Y) — площади этих многоугольников, а P(X) и P(Y) — их периметры. Доказать, что < 2 ^. .

   Решение

Сколькими способами можно выложить в ряд пять красных, пять синих и пять зелёных шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?

   Решение

Учитель рисует на листке бумаги несколько кружков и спрашивает одного ученика: ``Сколько здесь кружков?''. ``Семь''- отвечает ученик. ``Правильно. Так сколько здесь кружков?'' - опять спрашивает учитель другого ученика. ``Пять'' - отвечает тот. ``Правильно'' - снова говорит учитель. Так сколько же кружков он нарисовал на листке?

   Решение

Общество из n членов выбирает из своего состава одного представителя.
  а) Сколькими способами может произойти открытое голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)?
  б) Решите ту же задачу, если голосование – тайное, то есть учитывается лишь число голосов, поданных за каждого кандидата, и не учитывается, кто за кого голосовал персонально.

   Решение

Пусть z₁, ..., z_n – отличные от нуля комплексные числа, лежащие в полуплоскости  α < arg z < α + π.  Докажите, что
  а)  z₁ + ... + z_n ≠ 0;
  б)  ¹/_z1 + ... + ¹/_zn ≠ 0.

   Решение

В сегмент, ограниченный хордой и дугой AB окружности, вписана окружность ω с центром I. Обозначим середину указанной дуги AB через M, а середину дополнительной дуги через N. Из точки N проведены две прямые, касающиеся ω в точках C и D. Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Y, а его диагонали пересекаются в точке X. Докажите, что точки X, Y, I и M лежат на одной прямой.

   Решение

Пусть z₁, z₂, ..., z_n – вершины выпуклого многоугольника. Найдите геометрическое место точек  z = λ₁z₁ + λ₂z₂ + ... + λ_nz_n,  где λ₁, λ₂, ..., λ_n – такие действительные положительные числа, что  λ₁ + λ₂ + ... + λ_n = 1.

   Решение

Докажите, что в правильный пятиугольник можно так вписать квадрат, что его вершины будут лежать на четырёх сторонах пятиугольника.

   Решение

Дан произвольный треугольник ABC и такая прямая l, пересекающая треугольник, что расстояние от неё до точки A равно сумме расстояний до этой прямой от точек B и C (причем B и C лежат по одну сторону от l). Доказать, что все такие прямые проходят через одну точку.

   Решение

На плоскости даны n  (n > 2)  точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Сколькими различными способами это множество точек можно разбить на два непустых подмножества так, чтобы выпуклые оболочки этих подмножеств не пересекались?

   Решение

На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно стороне AB (D и E — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что S_BDEF = 2.

   Решение

Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен    Найдите углы треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 1956]      

Докажите, что если  a₁ = a₂  и  b₁ = b₂  (см. рис.), то  x = y.

Прислать комментарий

Решение

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

Прислать комментарий

Решение

Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен    Найдите углы треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На стороне AC треугольника ABC взята точка E. Через точку E проведены прямая DE параллельно стороне BC и прямая EF параллельно стороне AB (D и E — точки соответственно на этих сторонах). Докажите, что S_BDEF = 2.

Прислать комментарий

Решение

На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки M и N так, что отрезок MN параллелен основаниям и делит площадь трапеции пополам. Найдите длину MN, если BC = a и AD = b.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 1956]