Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Интернет-ресурсы >> Система задач по геометрии Р.К.Гордина (zadachi.mccme.ru)
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 22 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Средний возраст одиннадцати игроков футбольной команды – 22 года. Во время матча один из игроков получил травму и ушёл с поля. Средний возраст оставшихся на поле игроков стал равен 21 году. Сколько лет футболисту, получившему травму?

Вниз   Решение

Автор: Шаповалов А.В.

В Простоквашинской начальной школе учится всего 20 детей. У каждых двух из них есть общий дед.
Докажите, что у одного из дедов в этой школе учится не менее 14 внуков и внучек.

ВверхВниз   Решение

Сколько существует девятизначных чисел, сумма цифр которых чётна?

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно разбить 14 человек на пары?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что произведение любых трёх последовательных натуральных чисел делится на 6.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что произведение любых пяти последовательных чисел делится   а) на 30;   б) на 120.

ВверхВниз   Решение

Автор: Смирнова Л.

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?

ВверхВниз   Решение

Высота усечённого конуса равна радиусу его большего основания; периметр правильного шестиугольника, описанного около меньшего основания, равен периметру равностороннего треугольника, вписанного в большее основание. Определить угол наклона образующей конуса к плоскости основания.

ВверхВниз   Решение

Развертка боковой поверхности конуса представляет сектор с углом в 120o; в конус вписана треугольная пирамида, углы основания которой составляют арифметическую прогрессию с разностью 15o. Определить угол наклона к плоскости основания наименьшей из боковых граней.

ВверхВниз   Решение

Пирамида, все боковые рёбра которой наклонены к плоскости основания под углом $ \varphi$, имеет в основании равнобедренный треугольник с углом $ \alpha$, заключённым между равными сторонами. Определить двугранный угол при ребре, соединяющем вершину пирамиды с вершиной угла $ \alpha$.

ВверхВниз   Решение

Найти объём правильной четырёхугольной пирамиды, стороны основания которой a, а плоские углы при вершине равны углам наклона боковых рёбер к плоскости основания.

ВверхВниз   Решение

Два отрезка AB и CD пересекаются в точке O, которая является серединой каждого из них. Докажите равенство треугольников ACD и BDC.

ВверхВниз   Решение

На сторонах AB, BC и CA равностороннего треугольника ABC отложены равные отрезки AD, BE и CF. Точки D, E и F соединены отрезками.
Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, проведенной к одной из них.

ВверхВниз   Решение

Имеется 13 гирь, каждая из которых весит целое число граммов. Известно, что любые 12 из них можно так разложить на две чашки весов, по шесть гирь на каждой, что наступит равновесие. Докажите, что все гири имеют один и тот же вес.

ВверхВниз   Решение

Стороны BA, AC и CB равностороннего треугольника продолжены соответственно за точки A, C и B, на продолжениях отложены равные отрезки AD, CE и BF. Докажите, что треугольник DEF – равносторонний.

ВверхВниз   Решение

Из пункта A в другие можно попасть двумя способами: 1) выйти сразу и идти пешком; 2) вызвать машину и, подождав ее определённое время, ехать на ней. В каждом случае используется способ передвижения, требующий меньшего времени. При этом

Скорости пешехода и машины, а также время ожидания машины, принимаются неизменными. Сколько понадобится времени для достижения пункта, отстоящего от A на 6 км?

ВверхВниз   Решение

Решить уравнение:   + = 1.

ВверхВниз   Решение

В выпуклом 13-угольнике проведены все диагонали. Они разбивают его на многоугольники. Возьмём среди них многоугольник с наибольшим числом сторон. Какое самое большее число сторон может он иметь?

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Коэффициенты квадратного уравнения  ax² + bx + c = 0  удовлетворяют условию  2a + 3b + 6c = 0.
Докажите, что это уравнение имеет корень на интервале  (0, 1).

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

На турнир приехали школьники из разных городов. Один из организаторов заметил, что из них можно сделать 19 команд по 6 человек, и при этом еще менее четверти команд будут иметь по запасному игроку. Другой предложил сделать 22 команды по 5 или по 6 человек в каждой, и тогда более трети команд будут состоять из шести игроков. Сколько школьников приехало на турнир?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 6702]      

  с решениями  

Задача 55386

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Шестиугольник ABCDEF — вписанный, причём  AB || DE  и  BC || EF.  Докажите, что  CD || EF.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55410

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Через точку P, лежащую на общей хорде двух пересекающихся окружностей, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности.
Докажите, что четырёхугольник KLMN вписанный.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55448

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы между биссектрисами ]
[ Вневписанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что сторона BC треугольника ABC видна из центра O вписанной окружности под углом 90o + $ \angle$A/2, а из центра O1 вневписанной окружности, касающейся стороны BC, - под углом 90o - $ \angle$A/2.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55463

Темы:   [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Докажите, что точки, симметричные точке пересечения высот (ортоцентру) треугольника ABC относительно прямых, содержащих его стороны, лежат на описанной окружности этого треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55474

Темы:   [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

На продолжении хорды KL окружности с центром O взята точка A, и из неё проведены касательные AP и AQ (P и Q – точки касания); M – середина отрезка PQ. Докажите, что  ∠MKO = ∠MLO.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 172 173 174 175 176 177 178 >> [Всего задач: 6702]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .