Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии
Главы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если  KM = NL,  то  KO = PL.

Вниз   Решение

На основании AD трапеции ABCD взята точка  E так, что  AE = BC.  Отрезки CA и CE пересекают диагональ BD в точках O и P соответственно.
Докажите, что если  BO = PD,  то  AD² = BC² + AD·BC.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что среди любых шести человек есть либо трое попарно знакомых, либо трое попарно незнакомых.

ВверхВниз   Решение

Найдите произведения следующих формальных степенных рядов:

а) (1 + x + x2 + x3 +...)(1 - x + x2 - x3 +...);
б) (1 + x + x2 + x3 +...)2;
в) $ \left(\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right.$1 + x + $ {\dfrac{x^2}{2!}}$ +...+ $ {\dfrac{x^n}{n!}}$ +...$ \left.\vphantom{1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\ldots+\dfrac{x^n}{n!}+\ldots}\right)$$ \left(\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right.$1 - x + $ {\dfrac{x^2}{2!}}$ -...+ $ {\dfrac{(-x)^n}{n!}}$ +...$ \left.\vphantom{1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\ldots+\dfrac{(-x)^n}{n!}+\ldots}\right)$.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Общие перпендикуляры к противоположным сторонам пространственного четырёхугольника взаимно перпендикулярны.
Докажите, что они пересекаются.

ВверхВниз   Решение

Рассмотрим число     Докажите, что оно

а) меньше 1/10;   б) меньше 1/12;   в) больше 1/15.

ВверхВниз   Решение

9 кг ирисок стоят дешевле 10 рублей, а 10 кг тех же ирисок – дороже 11 рублей. Сколько стоит 1 кг этих ирисок?

ВверхВниз   Решение

Каждое из рёбер полного графа с 17 вершинами покрашено в один из трёх цветов.
Докажите, что есть три вершины, все рёбра между которыми – одного цвета.

ВверхВниз   Решение

Докажите неравенство:  2n > n.

ВверхВниз   Решение

Найдите такие линейные функции  P(x)  и  Q(x),  чтобы выполнялось равенство   P(x)(2x³ – 7x² + 7x – 2) + Q(x)(2x³ + x² + x – 1) = 2x – 1.

ВверхВниз   Решение

Найдите остаток R(x) от деления многочлена  xn + x + 2  на  x² – 1.

ВверхВниз   Решение

Сколько двоек будет в разложении на простые множители числа 1984! ?

ВверхВниз   Решение

Концы отрезков AB и CD перемещаются по сторонам данного угла, причем прямые AB и CD перемещаются параллельно; M – точка пересечения отрезков AB и CD. Докажите, что величина     остается постоянной.

ВверхВниз   Решение

При помощи метода неопределенных коэффициентов найдите такие линейные функции P(x) и Q(x), чтобы выполнялось равенство
P(x)(x² – 3x + 2) + Q(x)(x² + x + 1) = 21.

ВверхВниз   Решение

Пусть  P(x) = (2x² – 2x + 1)17(3x² – 3x + 1)17.  Найдите
  a) сумму коэффициентов этого многочлена;
  б) суммы коэффициентов при чётных и нечётных степенях x.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.
Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1956]      

  с решениями  

Задача 56466  (#01.011)

Темы:   [ Параллелограмм Вариньона ]
[ Правильный (равносторонний) треугольник ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки A и B высекают на окружности с центром O дугу величиной 60°. На этой дуге взята точка M.
Докажите, что прямая, проходящая через середины отрезков MA и OB, перпендикулярна прямой, проходящей через середины отрезков MB и OA.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56467  (#01.012)

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Проективная геометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

а) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 – на другой. Докажите, что если  AB1 || BA1  и  AC1 || CA1,  то  BC1 || CB1.

б) Точки A, B и C лежат на одной прямой, а точки A1, B1 и C1 таковы, что  AB1 || BA1,  AC1 || CA1  и  BC1 || CB1.
Докажите, что точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56468  (#01.013)

Темы:   [ Биссектриса угла (ГМТ) ]
[ Две пары подобных треугольников ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы AA1 и BB1.
Докажите, что расстояние от любой точки M отрезка A1B1 до прямой AB равно сумме расстояний от M до прямых AC и BC.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56469  (#01.014)

Темы:   [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Пусть M и N – середины сторон AD и BC прямоугольника ABCD. На продолжении отрезка DC за точку D взята точка P, Q – точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что  ∠QNM = ∠MNP.

Прислать комментарий     Решение

Задача 56470  (#01.015)

Темы:   [ Отрезки, заключенные между параллельными прямыми ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На продолжениях оснований AD и BC трапеции ABCD за точки A и C взяты точки K и L. Отрезок KL пересекает стороны AB и CD в точках M и N, а диагонали AC и BD в точках O и P. Докажите, что если  KM = NL,  то  KO = PL.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 1956]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .