Все источники
>>
Олимпиады и турниры
>>
Турнир городов
>>
37 турнир (2015/2016 год)
>>
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
Фильтр
Выбрано 33 задачи Убрать все задачи
Найти все значения x, y и z, удовлетворяющие равенству $\sqrt{x-y+z} = \sqrt{x} - \sqrt{y} + \sqrt{z}$.
В треугольнике ABC известно, что
BAC =
,
ABC =
, BC = a, AD — высота. На стороне
AB взята точка P, причём
=
.
Через точку P проведена окружность, касающаяся стороны
BC в точке D. Найдите радиус этой окружности.
а) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет треугольников?
б) Какое наибольшее число рёбер может быть в 30-вершинном графе, в котором нет полного подграфа из четырёх вершин?
Докажите, что
На стороне BC треугольника BCD взята точка A, причём
BA = AC,
CDB =
,
BCD =
,
BD = b; CE — высота треугольника BCD. Окружность
проходит через точку A и касается стороны BD в точке E.
Найдите радиус этой окружности.
Найдите геометрическое место точек, лежащих внутри куба и равноудалённых от трёх скрещивающихся рёбер a, b, c этого куба.
На стороне AD выпуклого четырёхугольника ABCD нашлась такая точка M, что CM и BM параллельны AB и CD соответственно.
Докажите, что SABCD ≥ 3SBCM.
Окружность касается двух сторон треугольника и двух его медиан. Докажите, что этот треугольник равнобедренный.
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
Отрезок BE разбивает треугольник ABC на два подобных треугольника, причём коэффициент подобия равен Найдите углы
треугольника ABC.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AH_A$, $BH_B$, $CH_C$. Пусть $X$ – произвольная точка отрезка $CH_C$, а $P$ – точка пересечения окружностей с диаметрами $H_CX$ и $BC$, отличная от $H_C$. Прямые $CP$ и $AH_A$ пересекаются в точке $Q$, а прямые $XP$ и $AB$ – в точке $R$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $R$, $H_B$ лежат на одной окружности.
Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции.
На стороны BC и CD параллелограмма ABCD (или
на их продолжения) опущены перпендикуляры AM и AN.
Докажите, что треугольники MAN и ABC подобны.
Дано 8 действительных чисел: a, b, c, d, e, f, g, h. Доказать, что хотя бы одно из шести чисел ac + bd, ae + bf, ag + bh, ce + df, cg + dh, eg + fh неотрицательно.
На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.
На окружности даны четыре точки A, B, C, D. Через каждую пару соседних точек проведена окружность. Вторые точки пересечения соседних окружностей обозначим через A1, B1, C1, D1. (Некоторые из них могут совпадать с прежними.) Доказать, что A1, B1, C1, D1 лежат на одной окружности.
Дан ромб ABCD. Окружность радиуса R касается прямых AB и AD в точках B и D соответственно и пересекает сторону BC в точке L, причём 4BL = BC. Найдите площадь ромба.
В трапеции ABCD известно, что AB = a, BC = b (a ≠ b). Определите, что пересекает биссектриса угла A: основание BC или боковую сторону CD?
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.
В трапецию ABCD (BC || AD) вписана окружность,
касающаяся боковых сторон AB и CD в точках K и L
соответственно, а оснований AD и BC в точках M и N.
а) Пусть Q – точка пересечения отрезков BM и AN. Докажите, что KQ || AD.
б) Докажите, что AK·KB = CL·LD.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через точку D и середины рёбер A1D1 и C1D1 . Найдите расстояние от середины ребра AA1 до плоскости P , если ребро куба равно 2.
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через диагональ A1C1 грани куба и середину ребра AD . Найдите расстояние от середины ребра AB до плоскости P , если ребро куба равно 3.
Докажите, что если ортоцентр делит высоты треугольника в одном и том же отношении, то этот треугольник — правильный.
Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?
На плоскости нарисованы неравнобедренный треугольник ABC и вписанная в него окружность ω. Пользуясь только линейкой и проведя не более восьми линий, постройте на ω такие точки A′, B′, C′, что лучи B′C′, C′A′, A′B′ проходят через A, B, C соответственно.
Докажите тождество
| (ax + by + cz + du)2 + (bx + cy + dz + au)2 + (cx + dy + az + bu)2 + | |
| + (dx + ay + bz + cu)2 = | |
| = (dx + cy + bz + au)2 + (cx + by + az + du)2 + (bx + ay + dz + cu)2 + | |
| + (ax + dy + cz + bu)2. |
В кубе ABCDA1B1C1D1 , где AA1 , BB1 , CC1 и DD1 – параллельные рёбра, плоскость P проходит через противоположные вершины A1 , C и середину ребра D1C1 . Найдите расстояние от вершины D1 до плоскости P , если ребро куба равно 6.
В выпуклом четырёхугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно a и b и пересекаются под углом 60°.
Найдите диагонали четырёхугольника.
С помощью циркуля и линейки постройте биссектрису данного угла, вершина которого лежит вне чертежа.
Найти действительные корни уравнения:
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
а) h = 17 см;
б) h = 18 см?
Задачи Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]
Задача 65472 (#6) |
|
|
Арбуз имеет форму шара диаметра 20 см. Вася сделал длинным ножом три взаимно перпендикулярных плоских надреза глубиной h (надрез – это сегмент круга, h – высота сегмента, плоскости надрезов попарно перпендикулярны). Обязательно ли при этом арбуз разделится хотя бы на два куска, если
а) h = 17 см;
б) h = 18 см?
|
|
Решение |
Задача 65473 (#7) |
|
|
Шеренга состоит из N ребят попарно различного роста. Её разбили на наименьшее возможное количество групп стоящих подряд ребят, в каждой из которых ребята стоят по возрастанию роста слева направо (возможны группы из одного человека). Потом в каждой группе переставили ребят по убыванию роста слева направо. Докажите, что после N – 1 такой операции ребята будут стоять по убыванию роста слева направо.
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 [Всего задач: 7]
