Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Кащей Бессмертный загадывает три натуральных числа: a, b, c. Иван Царевич должен назвать ему три числа: XYZ, после чего Кащей сообщает ему сумму aX + bY + cZ, затем Иван Царевич говорит еще один набор чисел xyz и Кащей сообщает ему сумму ax + by + cz. Царевич должен отгадать задуманные числа, иначе ему отрубят голову. Какие числа он должен загадать, чтобы остаться в живых?

Вниз   Решение


Стороны треугольника относятся как  5 : 4 : 3.  Найдите отношения отрезков сторон, на которые они делятся точками касания с вписанной окружностью.

ВверхВниз   Решение


Две окружности радиуса r касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса R в точках A и B соответственно. Найдите радиус R, если  AB = 11,  r = 5.

ВверхВниз   Решение


Решите в натуральных числах уравнение:
  а)  x² – y² = 31;
  б)  x² – y² = 303.

ВверхВниз   Решение


В алфавите племени Бум-Бум шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы.
Сколько слов в языке племени Бум-Бум?

ВверхВниз   Решение


Трое играют в настольный теннис, причем игрок, проигравший партию, уступает место игроку, не участвовавшему в ней. В итоге оказалось, что первый игрок сыграл 10 партий, второй – 21. Сколько партий сыграл третий игрок?

ВверхВниз   Решение


Команды А, Б, В, Г и Д участвовали в эстафете. До соревнований пять болельщиков, высказали следующие прогнозы.
  1) команда Д займет 1-е место, команда В – 2-е;
  2) команда А займет 2-е место, Г – 4-е;
  3) В – 3-е место, Д – 5-е;
  4) В – 1-е место, Г – 4-е;
  5) А – 2-е место, В – 3-е.
В каждом прогнозе одна часть подтвердилась, а другая – нет. Какое место заняла каждая из команд?

ВверхВниз   Решение


Решить систему уравнений:
   3xyz – x³ – y³ – z³ = b³,
   x + y + z = 2b,
   x² + y² + z² = b².

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1982]      



Задача 67015

Тема:   [ Взвешивания ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

У входа на рынок есть двухчашечные весы без гирек, которыми каждый может воспользоваться по 2 раза в день. У торговца Александра есть 3 неотличимые внешне монеты весом 9, 10 и 11 грамм.

— Как жаль, что я не могу за 2 взвешивания разобраться, какая из моих монет сколько весит!

— Да! — поддакнул его сосед Борис. — У меня совершенно та же ситуация — тоже 3 неотличимые на вид монеты весом 9, 10 и 11 грамм!

Докажите, что если они объединят усилия, то за отведённые им 4 взвешивания определят веса всех шести монет.
Прислать комментарий     Решение


Задача 67029

Темы:   [ Построения (прочее) ]
[ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

В декартовой системе координат (с одинаковым масштабом по осям $x$ и $y$) нарисовали график показательной функции $y=3^x$. Затем ось $y$ и все отметки на оси $x$ стёрли. Остались лишь график функции и ось $x$ без масштаба и отметки 0. Каким образом с помощью циркуля и линейки можно восстановить ось $y$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67307

Темы:   [ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8,9,10,11

Автор: Дидин М.

Петя загадал положительную несократимую дробь $x = \frac{m}{n}$. За один ход Вася называет положительную несократимую дробь $y$, не превосходящую 1, и Петя в ответ сообщает Васе числитель несократимой дроби, равной сумме $x+y$. Как Васе за два хода гарантированно узнать $x$?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67317

Темы:   [ Теория игр (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Имеется кучка из 100 камней. Двое играют в следующую игру. Первый игрок забирает 1 камень, потом второй может забрать 1 или 2 камня, потом первый может забрать 1, 2 или 3 камня, затем второй 1, 2, 3 или 4 камня, и так далее. Выигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто может выиграть, как бы ни играл соперник?
Прислать комментарий     Решение


Задача 67445

Темы:   [ Удвоение медианы ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

В треугольнике $ABC$ на стороне $AB$ отмечена точка $D$ (отличная от $A$ и $B$) и проведена медиана $AM$. Оказалось, что $AM = \frac{1}{2}CD$. Обязательно ли треугольник $ABC$ тупоугольный?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 155 156 157 158 159 160 161 >> [Всего задач: 1982]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .