ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Годы:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
В прямой угол вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.
Тане было 16 лет 19 месяцев назад, а Мише будет 19 лет через 16 месяцев. Кто из них старше? Ответ объясните. Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника? Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.
В треугольнике АВС : АС =
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число. |
Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]
Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)
Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.
Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)
Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xn + yn = zn не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.
Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение xx + yy = zz + tt.
Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке