Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]

Задача 78479

Тема:

[

Четырехугольник (неравенства)

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45^o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)

Прислать комментарий Решение

Задача 78484

Тема:

[

Вписанный угол, опирающийся на диаметр

]

Сложность: 3
Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 78492

Темы:	[	Связность и разложение на связные компоненты	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3
Классы: 7,8

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 78502

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
Темы:	[	Разложение на множители	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ не может иметь решений в целых числах, для которых x + y – простое число.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78507

Темы:	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение x^x + y^y = z^z + t^t.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]