Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM была бы наименьшей.

Вниз   Решение


В прямой угол вписана окружность. Хорда, соединяющая точки касания, равна 2. Найдите расстояние от центра окружности до этой хорды.

ВверхВниз   Решение


Тане было 16 лет 19 месяцев назад, а Мише будет 19 лет через 16 месяцев. Кто из них старше? Ответ объясните.

ВверхВниз   Решение


Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?

ВверхВниз   Решение


Докажите равенство треугольников по стороне и высотам, опущенным на две другие стороны.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике АВС : АС = . Докажите, что центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС , середины сторон АВ и ВС и вершина В лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение  xn + yn = zn  не может иметь решений в целых числах, для которых  x + y  – простое число.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1982]      



Задача 78276

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ]
[ Десятичная система счисления ]
[ Признаки делимости на 3 и 9 ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Сумму цифр числа a обозначим через S(a). Доказать, что если  S(a) = S(2a),  то число a делится на 9.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78277

Тема:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Даны n карточек; на обеих сторонах каждой карточки написано по одному из чисел 1, 2,..., n, причём так, что каждое число встречается на всех n карточках ровно два раза. Доказать, что карточки можно разложить на столе так, что сверху окажутся все числа: 1, 2,..., n.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78287

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Композиции симметрий ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

У края биллиарда, имеющего форму правильного 2n-угольника, стоит шар. Как надо пустить шар от борта, чтобы он, отразившись последовательно от всех бортов, вернулся в ту же точку? (При отражении углы падения и отражения равны.) Доказать, что при этом длина пути шара не зависит от выбора начальной точки.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78292

Темы:   [ Индукция в геометрии ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Проведём в выпуклом многоугольнике некоторые диагонали так, что никакие две из них не пересекаются (из одной вершины могут выходить несколько диагоналей). Доказать, что найдутся по крайней мере две вершины многоугольника, из которых не проведено ни одной диагонали.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78472

Темы:   [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

a1, a2, ..., an  – такие числа, что  a1 + a2 + ... + an = 0.  Доказать, что в этом случае справедливо соотношение   S = a1a2 + a1a3 + ... + an–1an ≤ 0
(в сумму S входят все возможные произведения aiaj,  i ≠ j).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1982]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .