Версия для печати
Убрать все задачи

---

В таблице из n столбцов и 2ⁿ строк, в которых выписаны все возможные различные наборы из n чисел 1 и –1, некоторые числа заменены нулями. Докажите, что можно выбрать некоторое непустое подмножество строк так, что:
  а) сумма всех чисел в выбранных строках равна 0;
  б) сумма всех выбранных строк есть нулевая строка.
(Строки складываются покоординатно как векторы.)

   Решение

---

Многочлен P(x) со старшим коэффициентом, равным 1, обладает тем свойством, что среди значений, принимаемых им при натуральных значениях аргумента, встречаются все числа вида 2^m с натуральным m. Докажите, что этот многочлен – первой степени.

   Решение

---

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

   Решение

Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67495

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67516

Темы:   [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Теория игр (прочее) ] [ Раскраски ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 5 Классы: 9,10,11

Петя красит каждую клетку доски $2m\times 2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася?
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67518

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67602

Темы:   [ Ломаные ] [ Четность и нечетность ] [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Аффинные преобразования и их свойства ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11

Улитка проползла по плоскости по контуру замкнутой несамопересекающейся $n$-звенной ломаной. Известно, что она двигалась только в трех направлениях: вверх, вправо и вниз-влево (под углом $45^{\circ}$ к горизонтали). Докажите, что $n$ нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97760

Темы:   [ Инварианты ] [ Деление с остатком ] [ Процессы и операции ] [ Теория групп (прочее) ]

Сложность: 5 Классы: 8,9,10

На окружности имеются синие и красные точки. Разрешается добавить красную точку и поменять цвета её соседей, а также убрать красную точку и изменить цвета её бывших соседей. Пусть первоначально было всего две красные точки (менее двух точек оставлять не разрешается). Доказать, что за несколько разрешённых операций нельзя получить картину, состоящую из двух синих точек.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 359 360 361 362 363 364 365 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями