Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 346 347 348 349 350 351 352 >> [Всего задач: 1854]

Задача 98375

Темы:	[	Криптография	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Авторы: Пионтковский Д., Шалунов С.

Дима придумал секретный шифр: каждая буква заменяется на слово длиной не больше 10 букв. Шифр называется хорошим, если всякое зашифрованное слово расшифровывается однозначно. Серёжа убедился (с помощью компьютера), что если зашифровать слово длиной не больше 10000 букв, то результат расшифровывается однозначно. Следует ли из этого, что шифр хороший? (В алфавите 33 буквы, под "словом" мы понимаем любую последовательность букв, независимо от того, имеет ли она смысл.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98388

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Полуинварианты	]
	[	Свойства модуля. Неравенство треугольника	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

За круглым столом сидят десять человек, перед каждым – несколько орехов. Всего орехов – сто. По общему сигналу каждый передаёт часть своих орехов соседу справа: половину, если у него (у того, кто передаёт) было чётное число, или один орех плюс половину остатка – если нечётное число. Такая операция проделывается второй раз, затем третий и так далее, до бесконечности. Докажите, что через некоторое время у всех станет по десять орехов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98421

Темы:	[	Замена переменных	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]
	[	Разрывы функций	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10

Автор: Канель-Белов А.Я.

Дана функция , где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x) = f₁(f₂(...f_n–1(f_n(x))...)), где каждая из функций f_i(x) есть функция одного из видов: k_ix + b_i, x^–1, x².

Прислать комментарий

Решение

Задача 98555

Темы:	[	Параллельный перенос (прочее)	]
	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Черепанов Е.

На координатной плоскости расположили треугольник так, что его сдвиги на векторы с целочисленными координатами не перекрываются.
а) Может ли площадь такого треугольника быть больше ½?
б) Найдите наибольшую возможную площадь такого треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98626

Темы:	[	Разные задачи на разрезания	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Инварианты	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Скопенков М.Б.

Внутри квадрата отметили несколько точек и соединили их отрезками между собой и с вершинами квадрата так, чтобы отрезки не пересекались друг с другом (нигде кроме концов). В результате квадрат разделился на треугольники, так что все отмеченные точки оказались в вершинах треугольников, и ни одна не попала на стороны треугольников. Для каждой отмеченной точки и для каждой вершины квадрата подсчитали число проведённых из неё отрезков. Могло ли так случиться, что все эти числа оказались чётными?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 346 347 348 349 350 351 352 >> [Всего задач: 1854]