Каталог по источникам

Выбрано 7 задач

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $AL$. На продолжении отрезка $LA$ за точку $A$ выбрана точка $K$ так, что $AK = AL$. Описанные окружности треугольников $BLK$ и $CLK$ пересекают отрезки $AC$ и $AB$ в точках $P$ и $Q$ соответственно. Докажите, что прямые $PQ$ и $BC$ параллельны.

Решение

AA₁ и BB₁ – высоты остроугольного треугольника ABC. Докажите, что:
а) треугольник AA₁C подобен треугольнику BB₁C;
б) треугольник ABC подобен треугольнику A₁B₁C.
в) Найдите коэффициент подобия треугольников A₁B₁C и ABC, если ∠C = γ.

Решение

Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.

Решение

Известно, что первый, десятый и сотый члены геометрической прогрессии являются натуральными числами. Верно ли, что 99-ый член этой прогрессии также является натуральным числом?

Решение

В треугольнике ABC AB = BC = 6. На стороне AB как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону BC в точке D так, что BD : DC = 2 : 1.
Найдите AC.

Решение

Докажите, что 1/2²+1/3²+1/4²+…+1/n²<1

Решение

Автор: Галочкин А.И.

Коллекция Саши состоит из монет и наклеек, причём монет меньше, чем наклеек, но хотя бы одна есть. Саша выбрал некоторое положительное число $t>1$ (не обязательно целое). Если он увеличит количество монет в $t$ раз, не меняя количества наклеек, то в его коллекции будет $100$ предметов. Если вместо этого он увеличит количество наклеек в $t$ раз, не меняя количества монет, то у него будет $101$ предмет. Сколько наклеек могло быть у Саши? Найдите все возможные ответы и докажите, что других нет.

Решение

Задача 76455

Задача 76456

Задача 76492

Задача 76535

Задача 76542