Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 321 322 323 324 325 326 327 >> [Всего задач: 2003]

Задача 77906

Темы:	[	Малые шевеления	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]
	[	Тетраэдр (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Из двух треугольных пирамид с общим основанием одна лежит внутри другой. Может ли быть сумма ребер внутренней пирамиды больше суммы ребер внешней?

Прислать комментарий Решение

Задача 77913

Темы:	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]
	[	Числа Каталана	]
	[	Системы точек и отрезков (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

На окружности расположены 20 точек. Эти 20 точек попарно соединяются 10 хордами, не имеющими общих концов и непересекающихся.
Сколькими способами это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

Задача 77983

Темы:	[	Площадь треугольника не превосходит половины произведения двух сторон	]
	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

a, b, c и d — длины последовательных сторон четырёхугольника. Обозначим через S его площадь. Доказать, что

S $\displaystyle \le$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$ (a + b)(c + d ).

Прислать комментарий

Решение

Задача 78018

Тема:

[

Системы алгебраических неравенств

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Сто положительных чисел C₁, C₂, ..., C₁₀₀ удовлетворяют условиям
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78043

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда a = b = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 321 322 323 324 325 326 327 >> [Всего задач: 2003]