Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67316

Темы:   [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Перенос помогает решить задачу ] [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В остроугольном треугольнике $ABC$ проведена высота $AH$. Точки $M$ и $N$  – середины отрезков $BH$ и $CH$. Докажите, что точка пересечения перпендикуляров, опущенных из точек $M$ и $N$ на прямые $AB$ и $AC$ соответственно, равноудалена от точек $B$ и $C$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67322

Тема:   [ Турниры и турнирные таблицы ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Чемпионат по футболу проходил в два круга. В каждом круге каждая команда сыграла с каждой один матч (за победу даётся три очка, за ничью одно, за поражение ноль). Оказалось, что все команды вместе набрали в первом круге 60 от общей суммы всех очков за два круга. Известно также, что победитель чемпионата набрал во втором круге в 30 раз меньше очков, чем все команды вместе в первом круге. Сколько команд участвовало в турнире?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67611

Тема:   [ Симметричная стратегия ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9,10,11

На столе лежат $11$ арбузов массами $1$, $2$, $3$, ..., $11$ кг. Алёна и Богдан раскладывают арбузы в четыре пакета; каждый пакет выдерживает $14$ кг, а от большего веса рвётся. Они по очереди выбирают арбуз со стола и кладут его в любой из пакетов так, чтобы пакет не порвался. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Начинает Алёна. Кто может обеспечить себе победу, как бы ни играл другой?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76420

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ] [ Геометрическая прогрессия ] [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Составить две прогрессии: арифметическую и геометрическую, каждую из четырёх членов; при этом, если сложить одноимённые члены обеих прогрессий, то должны получиться числа: 27, 27, 39, 87.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 76432

Темы:   [ Комбинаторика орбит ] [ Раскраски ] [ Правило произведения ] [ Правильные многогранники (прочее) ] [ Куб ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

  а) Выбраны 6 различных цветов; требуется раскрасить 6 граней куба, каждую в особый цвет из числа избранных. Сколькими геометрически различными способами можно это сделать? Геометрически различными называются две такие расцветки, которые нельзя совместить одну с другой при помощи вращений куба вокруг его центра.
  б) Решить ту же задачу для случая раскраски граней додекаэдра в 12 различных цветов.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями