Версия для печати
Убрать все задачи

---

В некотором королевстве было 32 рыцаря. Некоторые из них были вассалами других (вассал может иметь только одного сюзерена, причём сюзерен всегда богаче своего вассала). Рыцарь, имевший не менее четырёх вассалов, носил титул барона. Какое наибольшее число баронов могло быть при этих условиях?
(В королевстве действовал закон: "вассал моего вассала – не мой вассал".)

   Решение

---

Взяли несколько положительных чисел и построили по ним такую последовательность: a₁ – сумма исходных чисел, a₂ – сумма квадратов исходных чисел, a₃ – сумма кубов исходных чисел, и т.д.
  а) Могло ли случиться, что до a₅ последовательность убывает  (a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅),  а начиная с a₅ – возрастает  (a₅ < a₆ < a₇ < ...)?
  б) А могло ли случиться наоборот: до a₅ последовательность возрастает, а начиная с a₅ – убывает?

   Решение

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 97917

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Через n!! обозначается произведение  n(n – 2)(n – 4)...  до единицы (или до двойки): например,  8!! = 8·6·4·2;  9!! = 9·7·5·3·1.
Докажите, что  1985!! + 1986!!  делится на 1987.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97923

Темы:   [ Инварианты ] [ Задачи на смеси и концентрации ] [ Процессы и операции ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9,10

Имеется два трёхлитровых сосуда. В одном 1 л воды, в другом – 1 л двухпроцентного раствора поваренной соли. Разрешается переливать любую часть жидкости из одного сосуда в другой, после чего перемешивать. Можно ли за несколько таких переливаний получить полуторапроцентный раствор в том сосуде, в котором вначале была вода?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97931

Темы:   [ Вспомогательная раскраска (прочее) ] [ Инварианты ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

В левый нижний угол шахматной доски 8×8 поставлено в форме квадрата 3×3 девять фишек. Фишка может прыгать на свободное поле через рядом стоящую фишку, то есть симметрично отражаться относительно её центра (прыгать можно по вертикали, горизонтали и диагонали). Можно ли за некоторое количество таких ходов поставить все фишки вновь в форме квадрата 3×3, но в другом углу:
  а) левом верхнем,
  б) правом верхнем?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97935

Темы:   [ Покрытия ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Круг радиуса 1 покрыт семью одинаковыми кругами. Докажите, что их радиус не меньше ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97944

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Даны три неотрицательных числа a, b, c. Про них известно, что   a⁴ + b⁴ + c⁴ ≤ 2(a²b² + b²c² + c²a²).
  а) Докажите, что каждое из них не больше суммы двух других.
  б) Докажите, что   a² + b² + c² ≤ 2(ab + bc + ca).
  в) Следует ли из неравенства пункта б) исходное неравенство?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 40 41 42 43 44 45 46 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями