Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
Дана возрастающая последовательность положительных чисел
$$...< a_{-2} < a{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$$
бесконечная в обе стороны.
Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_k$.
Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...$
либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD.
Оказалось, что площадь четырёхугольника ABCD равна $MA\cdot MC+MB\cdot MD$.
Докажите, что четырёхугольник ABCD
а) вписанный;
б) описанный.
Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба.
Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., n покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел a, b, c (не обязательно различных) a(b-c) делится на n, то b=c.
Докажите, что красных чисел не больше чем $\varphi(n)$.
Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N.
Число a он написал на доске.
Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску.
Когда на доске появилось число 0, он остановился.
Мог ли Глеб изначально выбрать такие N и a, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100N?
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
Задача 66837 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66838 |
|
|
а) вписанный;
б) описанный.
|
|
|
Решение |
Задача 66839 |
|
|
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
|
|
|
Решение |
Задача 66840 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66857 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
