ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      



Задача 66837

Темы:   [ Числовые последовательности (прочее) ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Дана возрастающая последовательность положительных чисел $$...< a_{-2} < a{-1} < a_{0} < a_{1} < a_{2} < ...,$$ бесконечная в обе стороны. Пусть $b_k$ – наименьшее целое число со свойством: отношение суммы любых k подряд идущих членов данной последовательности к наибольшему из этих k членов не превышает $b_k$. Докажите, что последовательность $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ...$ либо совпадает с натуральным рядом 1, 2, 3, ..., либо с некоторого момента постоянна.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66838

Темы:   [ Вписанные четырехугольники ]
[ Описанные четырехугольники ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Точка M лежит внутри выпуклого четырёхугольника ABCD на одинаковом расстоянии от прямых AB и CD и на одинаковом расстоянии от прямых BC и AD. Оказалось, что площадь четырёхугольника ABCD равна $MA\cdot MC+MB\cdot MD$. Докажите, что четырёхугольник ABCD
а) вписанный;
б) описанный.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66839

Тема:   [ Комбинаторная геометрия (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Куб, состоящий из $(2n)^3$ единичных кубиков, проткнут несколькими спицами, параллельными рёбрам куба. Каждая спица протыкает ровно 2n кубиков, каждый кубик проткнут хотя бы одной спицей.
а) Докажите, что можно выбрать такие $2n^2$ спиц, идущих в совокупности всего в одном или двух направлениях, что никакие две из этих спиц не протыкают один и тот же кубик.
б) Какое наибольшее количество спиц можно гарантированно выбрать из имеющихся так, чтобы никакие две выбранные спицы не протыкали один и тот же кубик?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66840

Тема:   [ Функция Эйлера ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., n покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел a, b, c (не обязательно различных) a(b-c) делится на n, то b=c. Докажите, что красных чисел не больше чем $\varphi(n)$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66857

Темы:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Последовательности (прочее) ]
Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Глеб задумал натуральные числа N и a, где a < N. Число a он написал на доске. Затем Глеб стал проделывать такую операцию: делить N с остатком на последнее выписанное на доску число и полученный остаток от деления также записывать на доску. Когда на доске появилось число 0, он остановился. Мог ли Глеб изначально выбрать такие N и a, чтобы сумма выписанных на доске чисел была больше 100N?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .