ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]      



Задача 66859

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Алёша задумал натуральные числа a, b, c, а потом решил найти такие натуральные x, y, z, что a=НОК(x, y), b=НОК(x, z), c=НОК(y, z). Оказалось, что такие x, y, z существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа a и b. Докажите, что Боря может восстановить c.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66999

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан бесконечный запас белых, синих и красных кубиков. По кругу расставляют любые $N$ из них. Робот, став в любое место круга, идёт по часовой стрелке и, пока не останется один кубик, постоянно повторяет такую операцию: уничтожает два ближайших кубика перед собой и ставит позади себя новый кубик того же цвета, если уничтоженные одинаковы, и третьего цвета, если уничтоженные двух разных цветов. Назовём расстановку кубиков хорошей, если цвет оставшегося в конце кубика не зависит от места, с которого стартовал робот. Назовём $N$ удачным, если при любом выборе $N$ кубиков все их расстановки хорошие. Найдите все удачные $N$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66998

Темы:   [ Окружности на сфере ]
[ Сферическая геометрия и телесные углы ]
[ Сферы (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

На сфере радиуса 1 дан треугольник, стороны которого – дуги трёх различных окружностей радиуса 1 с центром в центре сферы, имеющие длины меньше $\pi$, а площадь равна четверти площади сферы. Докажите, что четырьмя копиями такого треугольника можно покрыть всю сферу.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66828

Темы:   [ Описанные четырехугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Два остроугольных треугольника ABC и $A_{1} B_{1} C_{1}$ таковы, что точки $B_{1}$ и $C_{1}$ лежат на стороне BC, а точка $A_{1}$ – внутри треугольника ABC. Пусть S и $S_{1}$ – соответственно площади этих треугольников. Докажите, что $\frac{S}{AB+AC} > \frac{S_1}{A_1B_1 + A_1C_1}$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66829

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Есть 100 внешне неразличимых монет трёх типов: золотые, серебряные и медные (каждый тип встречается хотя бы раз). Известно, что золотые весят по 3 г, серебряные – по 2 г, медные – по 1 г. Как на чашечных весах без гирек определить тип у всех монет не более чем за 101 взвешивание?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .