Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]
В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?
Для бесконечной последовательности $a_1, a_2,\ldots$ её первая производная – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n=1,2,\ldots$), а её $k$-я производная – это первая производная её $(k-1)$-й производной ($k=2,3,\ldots$). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2, \ldots $ и $b_1, b_2, \ldots$ – хорошие последовательности, то и $a_1 \cdot b_1, a_2\cdot b_2, \ldots$ – хорошая последовательность.
Даны целые числа $a_{1}, ..., a_{1000}$.
По кругу записаны их квадраты $a_{1}^2, ..., a_{1000}^2$.
Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на $41^2$.
Верно ли, что каждое из чисел $a_{1}, ..., a_{1000}$ делится на 41?
У Васи есть неограниченный запас брусков $1\times 1\times 3$ и уголков из трёх кубиков $1\times 1\times 1$.
Вася целиком заполнил ими коробку $m\times n\times k$, где m, n и k – целые числа, большие 1.
Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.
Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны.
Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны.
Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]
Задача 66994 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 66997 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66820 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66821 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66825 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]
