ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      



Задача 66994

Темы:   [ Произведения и факториалы ]
[ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11

В строку записано 2020 натуральных чисел. Каждое из них, начиная с третьего, делится и на предыдущее, и на сумму двух предыдущих. Какое наименьшее значение может принимать последнее число в строке?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66997

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Салимов Р.

Для бесконечной последовательности $a_1, a_2,\ldots$ её первая производная – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n=1,2,\ldots$), а её $k$-я производная – это первая производная её $(k-1)$-й производной ($k=2,3,\ldots$). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2, \ldots $ и $b_1, b_2, \ldots$ – хорошие последовательности, то и $a_1 \cdot b_1, a_2\cdot b_2, \ldots$ – хорошая последовательность.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66820

Тема:   [ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Даны целые числа $a_{1}, ..., a_{1000}$. По кругу записаны их квадраты $a_{1}^2, ..., a_{1000}^2$. Сумма каждых 41 подряд идущих квадратов на круге делится на $41^2$. Верно ли, что каждое из чисел $a_{1}, ..., a_{1000}$ делится на 41?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66821

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

У Васи есть неограниченный запас брусков $1\times 1\times 3$ и уголков из трёх кубиков $1\times 1\times 1$. Вася целиком заполнил ими коробку $m\times n\times k$, где m, n и k – целые числа, большие 1. Докажите, что можно было обойтись лишь уголками.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66825

Темы:   [ Логика и теория множеств (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
[ Углы между биссектрисами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Дан многоугольник, у которого каждые две соседние стороны перпендикулярны. Назовём две его вершины не дружными, если биссектрисы многоугольника, выходящие из этих вершин, перпендикулярны. Докажите, что для любой вершины количество не дружных с ней вершин чётно.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .