Построить треугольник по двум сторонам так, чтобы медианы этих сторон были взаимно перпендикулярны.

   Решение

Сколько корней имеет уравнение sin x=x/100 ?

   Решение

Доказать, что если в треугольной пирамиде две высоты пересекаются, то две другие высоты также пересекаются.

   Решение

На окружности даны три точки A,B,C . Построить (циркулем и линейкой) на этой окружности четвёртую точку D так, чтобы в полученный четырёхугольник можно было бы вписать окружность.

   Решение

Есть прямоугольный стол. Два игрока начинают по очереди класть на него по одному евро так, чтобы эти монеты не перекрывали друг друга. Кто не может сделать ход - проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

   Решение

Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD равна , угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью основания равен . Точка M – середина ребра SD, точка K – середина ребра AD. Найдите:

1) объём пирамиды CMSK;

2) угол между прямыми CM и SK;

3) расстояние между прямыми CM и SK.

   Решение

Имеется n целых чисел. Доказать, что среди них найдется несколько, или быть может одно, сумма которых делится на n.

   Решение

На третье занятие кружка по математике пришло 17 человек. Может ли случиться так, что каждая девочка знакома ровно с тремя из присутствующих на занятии кружковцев, а каждый мальчик ровно с пятью?

   Решение

Постройте треугольник по двум сторонам и медиане, проведённой к третьей стороне.

   Решение

Все грани треугольной пирамиды – прямоугольные треугольники. Наибольшее ребро равно a, а противоположное ребро равно b. Двугранный угол при наибольшем ребре равен α. Найдите объём пирамиды.

   Решение

а) Двое играют в такую игру: на столе лежат 7 монет по два фунта и 7 монет по одному фунту. За ход разрешается взять монет на сумму не более трех фунтов. Забравший последнюю монету выигрывает. Кто победит при правильной игре?
б) Тот же вопрос, если и тех, и других монет - по 12.

   Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 [Всего задач: 330]      

В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB. Пусть K – середина дуги BC, не содержащей точку A, N – середина отрезка AC, M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E. Докажите, что
∠EMK = 90°.

Прислать комментарий

Решение

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и CC₁, H – точка пересечения высот, O – центр описанной окружности, B₀ – середина стороны AC. Прямая BO пересекает сторону AC в точке P, а прямые BH и A₁C₁ пересекаются в точке Q. Докажите, что прямые HB₀ и PQ параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Вписанная окружность σ треугольника ABC касается его сторон BC , AC , AB в точках A' , B' , C' соответственно. Точки K и L на окружности σ таковы, что AKB'+ BKA'= ALB'+ BLA'=180^o . Докажите, что прямая KL равноудалена от точек A' , B' , C' .

Прислать комментарий

Решение

Пусть ABC – остроугольный треугольник, в котором  AC < BC; M – середина стороны AB. В описанной окружности Ω треугольника ABC, проведён диаметр CC'. Прямая CM пересекает прямые AC' и BC' в точках K и L соответственно. Перпендикуляр к прямой AC', проведённый через точку K, перпендикуляр к прямой BC', проведённый через точку L, и прямая AB образуют треугольник Δ. Докажите, что описанная окружность ω треугольника Δ касается окружности Ω.

Прислать комментарий

Решение

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
  а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
  б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁;  A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁;  B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 60 61 62 63 64 65 66 [Всего задач: 330]