Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Планиметрия >> Преобразования плоскости >> Движения >> Композиции движений. Теорема Шаля
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Две параллельные прямые пересечены третьей. Найдите угол между биссектрисами внутренних односторонних углов.

Вниз   Решение

100 фишек выставлены в ряд. Разрешено менять местами две фишки, стоящие через одну фишку.
Можно ли с помощью таких операций переставить все фишки в обратном порядке?

ВверхВниз   Решение

Известно, что  x + 1/x  – целое число. Докажите, что  xn + 1/xn  – также целое при любом целом n.

ВверхВниз   Решение

Докажите тождество: 12 + 22 +...+ n2 = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{6}}$n(n + 1)(2n + 1).

ВверхВниз   Решение

При каких значениях параметра a один из корней уравнения   x² – 15/4 x + a³ = 0  является квадратом другого?

ВверхВниз   Решение

При каком положительном значении p уравнения  3x² – 4px + 9 = 0  и  x² – 2px + 5 = 0  имеют общий корень?

ВверхВниз   Решение

На прямой отметили несколько точек. После этого между каждыми двумя соседними точками добавили по точке. Такую операцию повторили три раза, и в результате на прямой оказалось 65 точек. Сколько точек было вначале?

ВверхВниз   Решение

В мешке лежат шарики двух разных цветов: черного и белого. Какое наименьшее число шариков нужно вынуть из мешка вслепую так, чтобы среди них заведомо оказались два шарика одного цвета?

ВверхВниз   Решение

У Джона была полная корзина тремпончиков. Сначала он встретил Анну и дал ей половину своих тремпончиков и еще полтремпончика. Потом он встретил Банну и отдал ей половину оставшихся тремпончиков и еще полтремпончика. После того, как он встретил Ванну и снова отдал ей половину тремпончиков и еще полтремпончика, корзина опустела. Сколько тремпончиков было у Джона вначале? (Что такое тремпончики выяснить не удалось, так как к концу задачи их не осталось.)

ВверхВниз   Решение

Несколько прямых делят плоскость на части. Докажите, что эти части можно раскрасить в 2 цвета так, что граничащие части будут иметь разный цвет.

ВверхВниз   Решение

Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По команде "налево" некоторые повернулись налево, некоторые – направо, а остальные – кругом.
Всегда ли сержант сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

ВверхВниз   Решение

Изобразите ту часть плоскости (x;y), которая накрывается всевозможными кругами вида

(x - a)2 + (y - a)2 $\displaystyle \leqslant$ 2 + a2.


ВверхВниз   Решение

Выйдя на маршрут в 4 часа утра, альпинист Джеф Лоу к вечеру достиг пика "Свободная Корея". Переночевав на вершине, на следующий день он вышел в то же время и быстро спустился обратно по пути подъема. Докажите, что на маршруте есть такая точка, которую Лоу во время спуска и во время подъема проходил в одно и то же время суток.

ВверхВниз   Решение

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что на координатной плоскости можно провести окружность, внутри которой лежит ровно n целочисленных точек.

ВверхВниз   Решение

Матч между двумя футбольными командами закончился со счетом 8:5. Доказать, что был момент, когда первая команда забила столько же мячей, сколько второй оставалось забить.

ВверхВниз   Решение

8 теннисистов провели круговой турнир. Докажите, что найдутся 4 теннисиста A,B,C,D, такие что A выиграл у B,C,D, B выиграл у C и D, C выиграл у D.

ВверхВниз   Решение

Докажите тождество: 1 + 3 + 5 +...+ (2n – 1) = n2.

ВверхВниз   Решение

Найдите все значения x, удовлетворяющие неравенству  (2 – a)x³ + (1 – 2a)x² – 6x + 5 + 4a – a² < 0  хотя бы при одном значении a из отрезка  [–1, 2].

ВверхВниз   Решение

Обязательно ли среди двадцати пяти "медных" монет (т.е. монет достоинством 1, 2, 3, 5 коп.) найдётся семь монет одинакового достоинства?

ВверхВниз   Решение

В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

Задача 57903

Тема:   [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что любое движение плоскости является композицией не более чем трех симметрий относительно прямых.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57904

Тема:   [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57905

Тема:   [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57906

Тема:   [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57907

Тема:   [ Композиции движений. Теорема Шаля ]
Сложность: 6
Классы: 9

Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий S = SACoSABoSBC является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 2R sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$, где R — радиус описанной окружности, $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — углы данного треугольника.
Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 >> [Всего задач: 10]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .