Версия для печати
Убрать все задачи

---

На столе лежат пять часов со стрелками. Разрешается любые несколько из них перевести вперёд. Для каждых часов время, на которое при этом их перевели, назовём временем перевода. Требуется все часы установить так, чтобы они показывали одинаковое время. За какое наименьшее суммарное время перевода это можно гарантированно сделать?

   Решение

---

Найдите в последовательности 2, 6, 12, 20, 30, ... число, стоящее а) на 6-м; б) на 1994-м месте. Ответ объясните.

   Решение

---

Докажите, что sin< при 0<x< .

   Решение

---

Существует ли такое вещественное α, что число cos α иррационально, а все числа cos 2α, cos 3α, cos 4α, cos 5α рациональны?

   Решение

---

Выпуклый многоугольник разбит на параллелограммы. Вершину многоугольника, принадлежащую только одному параллелограмму, назовем хорошей. Докажите, что хороших вершин не менее трех.

   Решение

---

Для одного из предприятий-монополистов зависимость объёма спроса на продукцию q (единиц в месяц) от её цены p (тыс. руб.) задаётся формулой: q = 150-15p . Определите максимальный уровень цены p (в тыс. руб.), при котором значение выручки предприятия за месяц r = q· p составит не менее 360 тыс. руб.

   Решение

---

Решите уравнение cos(cos(cos(cos x)))= sin(sin(sin(sin x))) .

   Решение

---

Решите уравнение:

   Решение

---

Угол, образованный лучами  y = x  и  y = 2x  при  x ≥ 0,  высекает на параболе  y = x² + px + q  две дуги. Эти дуги спроектированы на ось Ox. Докажите, что проекция левой дуги на 1 короче проекции правой.

   Решение

---

Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или отчество, или фамилия. Может ли такое быть?

   Решение

---

В день рождения дяди Федора почтальон Печкин хочет выяснить, сколько тому лет. Шарик говорит, что дяде Федору больше 11 лет, а кот Матроскин утверждает, что больше 10 лет. Сколько лет дяде Федору, если известно, что ровно один из них ошибся? Ответ обоснуйте.

   Решение

---

Окружность вписана в равнобедренную трапецию ABCD с основаниями  BC = a  и  AD = b.  Точка H – проекция вершины B на AD, точка P – проекция точки H на AB, точка F лежит на отрезке BH, причём  FH = AH.  Найдите AB, BH, BP, DF и расположите найденные величины по возрастанию.

   Решение

---

Даны два выпуклых многоугольника. Известно, что расстояние между любыми двумя вершинами первого не больше 1 , расстояние между любыми двумя вершинами второго также не больше 1, а расстояние между любыми двумя вершинами разных многоугольников больше, чем 1/ . Докажите, что многоугольники не имеют общих внутренних точек.

   Решение

---

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 1160 К, a = 34 К/мин, b = -0,2 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 2000 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

---

Обозначим S(x) сумму цифр числа x . Найдутся ли три таких натуральных числа a , b и c , что S(a+b)<5 , S(a+c)<5 и S(b+c)<5 , но S(a+b+c)>50 ?

   Решение

---

Про углы треугольника ABC известно, что      и    .   Найдите величину угла C.

   Решение

---

Решите систему уравнений:
    xy(x + y) = 30
    x³ + y³ = 35.

   Решение

---

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени (в минутах) для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур задаётся выражением T(t) = T₀+at+bt² , где T₀ = 200 К, a = 75 К/мин, b = -0,5 К/ мин² . Известно, что при температурах нагревателя свыше 1500 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите (в минутах) через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор.

   Решение

---

В треугольнике ABC  (AB > BC)  проведены медиана BM и биссектриса BL. Прямая, проходящая через точку M параллельно AB, пересекает BL в точке D, а прямая, проходящая через L параллельно BC, пересекает BM в точке E. Докажите, что прямые ED и BL перпендикулярны.

   Решение

---

Одуванчик утром распускается, два дня цветёт жёлтым, на третий день утром становится белым, а к вечеру облетает. Вчера днем на поляне было 20 жёлтых и 14 белых одуванчиков, а сегодня 15 жёлтых и 11 белых.
  а) Сколько жёлтых одуванчиков было на поляне позавчера?
  б) Сколько белых одуванчиков будет на поляне завтра?

   Решение

---

Существуют ли такие ненулевые числа a, b, c, что при любом  n > 3  можно найти многочлен вида  P_n(x) = xⁿ + ... + ax² + bx + c,  имеющий ровно n (не обязательно различных) целых корней?

   Решение

---

Коэффициент полезного действия некоторого двигателя определяется формулой = · 100 %. При каком наименьшем значении температуры нагревателя T₁ КПД этого двигателя будет не менее 40%, если температура холодильника T₂ = 300 ?

   Решение

---

Биссектрисы BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Прямая B₁C₁ пересекает описанную окружность треугольника ABC в точках M и N.
Докажите, что радиус описанной окружности треугольника MIN вдвое больше радиуса описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

---

Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина M лежит на высоте AO первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани ABC и середину ребра BD. Найдите отношение длин рёбер тетраэдров.

   Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 517]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 111401

Темы:   [ Правильный тетраэдр ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Два правильных тетраэдра ABCD и MNPQ расположены так, что плоскости BCD и NPQ совпадают, вершина M лежит на высоте AO первого тетраэдра, а плоскость MNP проходит через центр грани ABC и середину ребра BD. Найдите отношение длин рёбер тетраэдров.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115313

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC на стороне AB взята такая точка E, что  AE : BE = AD : BC.  Точка H – проекция точки D на прямую CE.
Докажите, что  AH = AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115693

Темы:   [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

На сторонах AB и BC треугольника ABC выбраны соответственно точки X и Y так, что  ∠AXY = 2∠C,  ∠CYX = 2∠A.
Докажите неравенство  

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66786

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55240

Темы:   [ Неравенства с углами ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

На плоскости даны прямая l и две точки P и Q, лежащие по одну сторону от неё. Найдите на прямой l такую точку M, для которой расстояние между основаниями высот треугольника PQM, опущенных на стороны PM и QM, наименьшее.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 517]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями