Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что при центральном проектировании прямая, не являющаяся исключительной, проецируется в прямую.

   Решение

---

В вершинах A , B и C равностороннего треугольника ABC со стороной 1 восставлены к его плоскости перпендикуляры и на них взяты точки A1 , B1 и C1 , находящиеся по одну сторону от плоскости ABC , причём AA1 = 4 , BB1 = 5 и CC1 = 6 . Найдите объём многогранника ABCA1B1C1 .

   Решение

---

Найти все действительные решения системы уравнений  

   Решение

---

В стране несколько городов, соединённых дорогами с односторонним и двусторонним движением. Известно, что из каждого города в любой другой можно проехать ровно одним путём, не проходящим два раза через один и тот же город. Докажите, что страну можно разделить на три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два города из одной губернии.

   Решение

---

Велосипедист выехал с постоянной скоростью из города А в город В, расстояние между которыми равно 77 км. На следующий день он отправился обратно в А со скоростью на 4 км/ч больше прежней. По дороге он сделал остановку на 4 ч. В результате велосипедист затратил на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость велосипедиста на пути из В в А. Ответ дайте в км/ч.

   Решение

---

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 78101

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Известно, что  ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e,  где a, b, c, d, e – данные целые числа, при любом целом x делится на 7.
Доказать, что все числа a, b, c, d, e делятся на 7.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110039

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Миша решил уравнение  x² + ax + b = 0  и сообщил Диме набор из четырёх чисел – два корня и два коэффициента этого уравнения (но не сказал, какие именно из них корни, а какие – коэффициенты). Сможет ли Дима узнать, какое уравнение решал Миша, если все числа набора оказались различными?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111878

Темы:   [ Кубические многочлены ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Числа a, b, c таковы, что уравнение  x³ + ax² + bx + c = 0  имеет три действительных корня. Докажите, что если  –2 ≤ a + b + c ≤ 0,  то хотя бы один из этих корней принадлежит отрезку  [0, 2].

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65736

Темы:   [ Инварианты ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

На доске написано несколько приведённых многочленов 37-й степени, все коэффициенты которых неотрицательны. Разрешается выбрать любые два выписанных многочлена  f и g и заменить их на такие два приведённых многочлена 37-й степени  f₁ и g₁, что  f + g = f₁ + g₁  или  fg = f₁g₁.  Докажите, что после применения любого конечного числа таких операций не может оказаться, что каждый многочлен на доске имеет 37 различных положительных корней.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77932

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

При делении многочлена  x¹⁹⁵¹ – 1  на  x⁴ + x³ + 2x² + x + 1  получается частное и остаток. Найти в частном коэффициент при x¹⁴.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями