Версия для печати
Убрать все задачи

---

Графики двух квадратных трёхчленов пересекаются в двух точках. В обеих точках касательные к графикам перпендикулярны.
Верно ли, что оси симметрии графиков совпадают?

   Решение

---

На координатной плоскости нарисованы графики двух приведённых квадратных трёхчленов и две непараллельные прямые l₁ и l₂. Известно, что отрезки, высекаемые графиками на l₁, равны, и отрезки, высекаемые графиками на l₂, также равны. Докажите, что графики трёхчленов совпадают.

   Решение

---

В Солнечной долине 10 посёлков. Однажды статистики долины провели исследование численности жителей в посёлках. Обнаружили следующее.
  1. Число жителей в любых двух посёлках долины отличается не более чем на 100 человек.
  2. В посёлке Знойное ровно 1000 жителей, что превышает среднюю численность населения посёлков долины на 90 человек.
Сколько жителей в посёлке Радужный, который также расположен в Солнечной долине?

   Решение

---

Графики квадратного трёхчлена и его производной разбивают координатную плоскость на четыре части. Сколько корней имеет этот квадратный трёхчлен?

   Решение

---

Графики трёх функций  y = ax + a,  y = bx + b  и  y = cx + d  имеют общую точку, причём  a ≠ b.  Обязательно ли  c = d?

   Решение

---

Сфера ω проходит через вершину S пирамиды SABC и пересекает рёбра SA, SB и SC вторично в точках A₁, B₁ и C₁ соответственно. Сфера Ω, описанная около пирамиды SABC, пересекается с ω по окружности, лежащей в плоскости, параллельной плоскости (ABC). Точки A₂, B₂ и C₂ симметричны точкам A₁, B₁ и C₁ относительно середин рёбер SA, SB и SC соответственно. Докажите, что точки A, B, C, A₂, B₂ и C₂ лежат на одной сфере.

   Решение

---

Пусть m, n и k – натуральные числа, причём  m > n.  Какое из двух чисел больше:

    или  

(В каждом выражении k знаков квадратного корня, m и n чередуются.)

   Решение

---

Разложите многочлен  a³ + b³ + c³ – 3abc  на три линейных множителя.

   Решение

---

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают его стороны в точках A₁ и C₁, а описанную окружность этого треугольника – в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямые A₁C₁ и A₀C₀ пересекаются в точке P. Докажите, что отрезок, соединяющий P с центром вписанной окружности треугольника ABC, параллелен AC.

   Решение

---

Дан треугольник ABC . На его стороне AB выбирается точка P и через неё проводятся прямые PM и PN , параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC ); Q — точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM , отличная от P . Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.

   Решение

---

Ученик за одну неделю получил 17 оценок (каждая из них – 2, 3, 4 или 5). Среднее арифметическое этих 17 оценок – целое число.
Докажите, что какую-то оценку он получил не более двух раз.

   Решение

---

Основание пирамиды ABCS – равносторонний треугольник ABC со стороной 4 . Боковое ребро SC перпендикулярно плоскости основания и равно 2. Найдите угол и расстояние между скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку S и середину ребра BC , а другая проходит через точку C и середину ребра AB .

   Решение

---

Даны точки M(2;-5;0) , N(3;0;4) , K(-2;2;0) и L (3;2;1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку L параллельно плоскости MNK .

   Решение

---

Рассматривается последовательность слов, состоящих из букв "A" и "B". Первое слово в последовательности – "A", k-е слово получается из (k–1)-го с помощью следующей операции: каждое "A" заменяется на "AAB", каждое "B" – на "A". Легко видеть, что каждое слово является началом следующего, тем самым получается бесконечная последовательность букв: AABAABAAABAABAAAB...
  а) На каком месте в этой последовательности встретится 1000-я буква "A"?
  б) Докажите, что эта последовательность – непериодическая.

   Решение

---

На клетчатой бумаге даны произвольные n клеток. Докажите, что из них можно выбрать не менее n/4 клеток, не имеющих общих точек.

   Решение

---

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

   Решение

---

Докажите, что если  f(x) – многочлен, степень которого меньше n, то дробь     (x₁, x₂, ..., x_n  – произвольные попарно различные числа) может быть представлена в виде суммы n простейших дробей:  
где  A₁, A₂, ..., A_n  – некоторые константы.

   Решение

---

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что  ∠CED > 45°.

   Решение

---

Даны точки A(-3;0;1) , B(2;1;-1) , C(-2;2;0) и D(1;3;2) . Найдите расстояние между прямыми AB и CD .

   Решение

---

Высота треугольника, равная 2, делит угол треугольника в отношении 2:1, а основание треугольника – на части, меньшая из которых равна 1. Найдите площадь треугольника.

   Решение

---

Маша считает, что два арбуза тяжелее трёх дынь, Аня считает, что три арбуза тяжелее четырёх дынь. Известно, что одна из девочек права, а другая ошибается. Верно ли, что 12 арбузов тяжелее 18 дынь? (Считается, что все арбузы весят одинаково и все дыни весят одинаково.)

   Решение

---

Найдите остаток от деления 6¹⁰⁰ на 7.

   Решение

---

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

   Решение

---

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 79382

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Десятичная система счисления ] [ Периодические и непериодические дроби ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

a₁, a₂, a₃, ..., a_n, ... – возрастающая последовательность натуральных чисел. Известно, что  a_n+1 ≤ 10a_n  при всех натуральных n.
Доказать, что бесконечная десятичная дробь 0,a₁a₂a₃..., полученная приписыванием этих чисел друг к другу, непериодическая.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 35077

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Последовательность f(n) (n=1,2,...), состоящая из натуральных чисел, такова, что f(f(n))=f(n+1)+f(n) для всех натуральных n. Докажите, что все члены этой последовательности различны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30609

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел такова, что  a_n+2 = a_n+1a_n + 1 при всех n.
  а)  a₁ = a₂ = 1.  Докажите, что ни один из членов последовательности не делится на 4.
  б) Докажите, что  a_n – 22  – составное число при любом n > 10.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98235

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Периоды двух последовательностей – 7 и 13. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98246

Темы:   [ Периодичность и непериодичность ] [ Деление с остатком ] [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Алгоритм Евклида ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Периоды двух последовательностей – m и n – взаимно простые числа. Какова максимальная длина начального куска, который может у них совпадать?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 102]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями