Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Пусть α , β , γ и δ — градусные меры углов некоторого выпуклого четырехугольника. Всегда ли из этих четырех чисел можно выбрать три числа так, чтобы они выражали длины сторон некоторого треугольника (например, в метрах)?
Докажите, что высота неравнобедренного прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, меньше половины гипотенузы.
Дан треугольник ABC. Окружность радиуса R касается прямых
AB и BC в точках A и C и пересекает медиану BD в точке L, причём BL = 5/9 BD.
Найдите площадь треугольника.
Даны 19 карточек. Можно ли на каждой из карточек написать ненулевую цифру так, чтобы из этих карточек можно было сложить ровно одно 19-значное число, кратное на 11?
В треугольнике две высоты не меньше сторон, на которые они опущены. Найдите углы треугольника.
Сумма углов n-угольника.
Докажите, что произвольный n-угольник (не обязательно выпуклый) можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями.
Выведите отсюда, что сумма углов в произвольном n-угольнике
равна (n - 2).
Докажите, что в любом треугольнике большей стороне соответствует меньшая высота.
Найдите сумму внешних углов выпуклого n-угольника, взятых по одному при каждой вершине.
Пусть a, b, c, d – различные цифры. Докажите, что cdcdcdcd не делится на aabb.
Решите уравнение xx4 = 4 (x > 0).
При каких x и y число xxyy является квадратом натурального числа?
Пусть M — центр масс n-угольника
A1...An;
M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников,
полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин
A1,...,
An соответственно. Докажите, что многоугольники
A1...An
и
M1...Mn гомотетичны.
Докажите, что длину биссектрисы la можно вычислить
по следующим формулам:
а)
la = ;
б)
la = 2bc cos(/2)/(b + c);
в)
la = 2R sinsin
/cos((
-
)/2);
г)
la = 4p sin(/2)sin(
/2)/(sin
+ sin
).
Докажите, что любой выпуклый многоугольник содержит два
непересекающихся многоугольника
и
, подобных
с коэффициентом 1/2.
Радиус вписанной окружности треугольника равен
.
Докажите, что наибольшая высота треугольника не меньше 1.
На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы из этих k-угольников.
В выпуклом четырёхугольнике тангенс одного из углов равен числу m. Могут ли тангенсы каждого из трёх остальных углов также равняться m?
Коля Васин выписал пример на умножение, а затем заменил все цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось равенство ab·cd = effe. Не ошибся ли Коля?
Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
Задача 64776 |
|
|
На плоскости дано n выпуклых попарно пересекающихся k-угольников. Каждый из них можно перевести в любой другой гомотетией с положительным коэффициентом. Докажите, что на плоскости найдётся точка, принадлежащая хотя бы из этих k-угольников.
|
|
Решение |
Задача 57987 |
|
|
Докажите, что любой выпуклый многоугольник содержит два
непересекающихся многоугольника
и
, подобных
с коэффициентом 1/2.
|
|
|
Решение |
Задача 78524 |
|
В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.
|
|
Решение |
Задача 57156 |
|
|
Дан треугольник ABC. Найдите множество центров
прямоугольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на
стороне AC, вершины R и S — на сторонах AB и BC
соответственно.
|
|
|
Решение |
Задача 37005 |
|
|
Трапеция АВСD с основаниями AB и CD вписана в окружность. Докажите, что четырёхугольник, образованный ортогональными проекциями любой точки этой окружности на прямые AC, BC, AD и BD, является вписанным.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 21]
