Фильтр
Выбрано 19 задач Убрать все задачи
Можно ли множество всех натуральных чисел, больших 1, разбить на два непустых подмножества так, чтобы для каждых двух чисел a и b из одного множества число ab – 1 принадлежало другому?
Лесник считал сосны в лесу. Он обошёл 5 кругов, изображённых на рисунке, и внутри каждого круга насчитал ровно 3 сосны.
Может ли быть, что лесник ни разу не ошибся?
Внутри выпуклого 2n-угольника взята точка P.
Через каждую вершину и точку P проведена прямая.
Докажите, что найдется сторона 2n-угольника, с которой
ни одна из проведенных прямых не имеет общих внутренних точек.
Доказать, что произведение двух последовательных натуральных чисел не является степенью никакого целого числа.
Какое наименьшее число точек достаточно отметить
внутри выпуклого n-угольника, чтобы внутри любого треугольника
с вершинами в вершинах n-угольника содержалась
хотя бы одна отмеченная точка?
200 учеников выстроены прямоугольником по 10 человек в каждом поперечном ряду и по 20 человек в каждом продольном ряду. В каждом продольном ряду выбран самый высокий ученик, а затем из отобранных 10 человек выбран самый низкий. С другой стороны, в каждом поперечном ряду выбран самый низкий ученик, а затем среди отобранных 20 выбран самый высокий. Кто из двоих окажется выше?
В треугольнике со сторонами a, b и c проведены биссектрисы,
точки пересечения которых с противолежащими сторонами являются
вершинами второго треугольника. Докажите, что отношение площадей
этих треугольников равно
.
Даны три действительных числа: a, b и c. Известно, что a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0, abc > 0. Докажите, что a > 0, b > 0 и c > 0.
Двадцать городов соединены 172 авиалиниями.
Доказать, что, используя эти авиалинии, можно из любого города перелететь в любой другой (быть может, делая пересадки).
В трапеции ABCD AD || BC) угол ADB в два раза меньше угла ACB. Известно, что BC = AC = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции.
Какое наибольшее число точек можно разместить
(Разумеется, в условии подразумевается, что никакие три точки не должны лежать
на одной прямой – без этого ограничения можно разместить сколько угодно
точек.)
Можно ли найти четыре целых числа, сумма и произведение которых являются нечётными числами?
В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC
равен . Окружность с центром в точке O касается стороны BC и
продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно.
Найдите площадь треугольника AOL.
Есть три кучи камней. Разрешается к любой из них добавить столько камней, сколько есть в двух других кучах, или из любой кучи выбросить столько камней, сколько есть в двух других кучах. Например: (12, 3, 5) → (12, 20, 5) (или (4, 3, 5)). Можно ли, начав с куч 1993, 199 и 19, сделать одну из куч пустой?
На русско-французской встрече не было представителей других стран. Суммарное количество денег у французов оказалось больше суммарного количества денег у россиян, и суммарное количество денег у женщин оказалось больше суммарного количества денег у мужчин.
Обязательно ли на встрече была француженка?
В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC
равен . Окружность с центром в точке O касается стороны BC и
продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Точка D
лежит внутри отрезка AK, AD = a. Найдите площадь треугольника DOK.
Какое наименьшее количество квадратиков 1×1 надо нарисовать, чтобы получилось изображение квадрата 25×25, разделённого на 625 квадратиков 1×1?
Конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал чётное число ходов.
Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE ABC = ∠ADE и ∠AEC = ∠ADB, то ∠BAC = ∠DAE.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]
Задача 52419 |
|
На сторонах AC и BC треугольника ABC во внешнюю сторону
построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2.
Докажите, что прямые A1B, A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 52490 |
|
|
Докажите, что если в выпуклом пятиугольнике ABCDE ABC = ∠ADE и ∠AEC = ∠ADB, то ∠BAC = ∠DAE.
|
|
Решение |
Задача 52814 |
|
|
На плоскости расположены два квадрата ABCD и BKLN так, что
точка K лежит на продолжении AB за точку B, а N лежит на луче BC.
Найдите угол между прямыми DL и AN.
|
|
|
Решение |
Задача 52822 |
|
|
Угол с вершиной A равен . Расстояние между
основаниями перпендикуляров, опущенных из некоторой точки B на
стороны угла, равно a. Найдите AB.
|
|
|
Решение |
Задача 52859 |
|
Точки K и P симметричны основанию H высоты BH треугольника ABC относительно его сторон AB и BC.
Докажите, что точки пересечения отрезка KP со сторонами AB и BC (или их продолжениями) – основания высот треугольника ABC.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 289]
