На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.

   Решение

В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов, равны    и  .  Найдите гипотенузу треугольника.

   Решение

Докажите, что для любого простого числа  p > 2  числитель дроби  ^m/_n = ¹/₁ + ¹/₂ + ... + ¹/_p–1  делится на p.

   Решение

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $P$ – такая точка внутри треугольника, что $\angle APH=\angle BPO=\pi/2$. Докажите, что $\angle PAC=\angle PBA=\angle PCB$.

   Решение

а) Докажите, что  m_a² + m_b² + m_c² 27R²/4.
б) Докажите, что  m_a + m_b + m_c 9R/2.

   Решение

Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)

   Решение

а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A, B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b, c, d соответственно. Докажите, что (abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек сохраняется при проективных преобразованиях.

   Решение

Высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC, равна h, B = , C = . Найдите остальные высоты этого треугольника.

   Решение

Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

   Решение

В ботаническом справочнике каждое растение характеризуется 100 признаками (каждый признак либо присутствует, либо отсутствует). Растения считаются непохожими, если они различаются не менее, чем по 51 признаку.
  а) Покажите, что в справочнике не может находиться больше 50 попарно непохожих растений.
  б) А может ли быть ровно 50?

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Множество M есть объединение k попарно непересекающихся отрезков, лежащих на одной прямой. Известно, что любой отрезок длины, не большей 1, можно расположить на прямой так, чтобы его концы принадлежали множеству M. Докажите, что сумма длин отрезков, составляющих M, не меньше ¹/_k.

   Решение

В треугольнике ABC высота BD равна 11,2 а высота AE равна 12. Точка E лежит на стороне BC и BE : EC = 5 : 9. Найдите сторону AC.

   Решение

Внутри угла AOB взята точка C, опущены перпендикуляры CD на сторону OA и CE на сторону OB. Затем опущены перпендикуляры EM на сторону OA и DN на сторону OB. Доказать, что  OC ⊥ MN.

   Решение

На стороне $AB$ квадрата $ABCD$ вне его построен равнобедренный треугольник $ABE$ ($AE=BE$). Пусть $M$ – середина $AE$, $O$ – точка пересечения $AC$ и $BD$, $K$ – точка пересечения $ED$ и $OM$. Докажите, что $EK=KO$.

   Решение

Биссектрисы углов $A$, $B$ и $C$ треугольника $ABC$ вторично пересекают описанную окружность в точках $A_1$, $B_1$, $C_1$ соответственно. Точки $A_2$, $B_2$; $C_2$ – середины отрезков $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ соответственно. Докажите, что треугольники $A_1B_1C_1$ и $A_2B_2C_2$ подобны.

   Решение

Cколько существует различных семизначных телефонных номеров (cчитается, что номер начинаться с нуля не может)?

   Решение

Найдите все простые числа p и q, для которых выполняется равенство  p² – 2q² = 1.

   Решение

На сторонах прямоугольного треугольника ABC построены во внешнюю сторону квадраты с центрами D, E, F.
Докажите, что отношение  S_DEF : S_ABC   а) больше 1;   б) не меньше 2.

   Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что AB = BC.

   Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1282]      

В окружности проведены хорды AB и BC, причём AB = , BC = 3, ABC = 60^o. Найдите длину той хорды окружности, которая делит угол ABC пополам.

Прислать комментарий

Решение

В окружности радиуса R проведены хорда AB и диаметр AC. Хорда PQ, перпендикулярная диаметру AC, пересекает хорду AB в точке M. Известно, что AB = a, PM : MQ = 3. Найдите AM.

Прислать комментарий

Решение

M и N — точки пересечения двух окружностей с центрами O₁ и O₂. Прямая O₁M пересекает 1-ю окружность в точке A₁, а 2-ю в точке A₂. Прямая O₂M пересекает 1-ю окружность в точке B₁, а 2-ю в точке B₂. Доказать, что прямые A₁B₁, A₂B₂ и MN пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC проведены медианы AD и BE. Углы CAD и CBE равны 30^o. Доказать, что AB = BC.

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до точек пересечения с описанной около треугольника окружностью, отличных от вершин исходного треугольника. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30^o, 60^o и 90^o, а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 38 39 40 41 42 43 44 >> [Всего задач: 1282]