Страница:
<< 398 399 400 401
402 403 404 >> [Всего задач: 2266]
Стороны четырёхугольника равны $a$, $b$, $c$ и $d$. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна $\sqrt{abcd}$.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Внутри квадрата
A1A2A3A4 взята точка P. Из вершины
A1 опущен перпендикуляр на A2P, из A2 — перпендикуляр
на A3P, из A3 — на A4P, из A4 — на
A1P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения)
пересекается в одной точке.
|
[Неравенство Птолемея]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Дан четырёхугольник ABCD. Докажите, что AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и BQ, а также медиана CM. Точка R – середина CM. Прямая PQ пересекает прямую AB в точке T. Докажите, что OR⊥TC, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Треугольник ABC (AB > BC) вписан в окружность Ω. На сторонах AB и BC выбраны точки M и N соответственно так, что AM = CN. Прямые MN и AC пересекаются в точке K. Пусть P – центр вписанной окружности треугольника AMK, а Q – центр вневписанной окружности треугольника CNK, касающейся стороны CN. Докажите, что середина дуги ABC окружности Ω равноудалена от точек P и Q.
Страница:
<< 398 399 400 401
402 403 404 >> [Всего задач: 2266]
Фильтр
