Страница:
<< 425 426 427 428
429 430 431 >> [Всего задач: 2266]
В квадрате со стороной 15 расположено 20 попарно непересекающихся
квадратиков со стороной 1. Докажите, что в большом квадрате можно
разместить круг радиуса 1 так, чтобы он не пересекался ни с одним
из квадратиков.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)
В остроугольном треугольнике ABC высоты AA1, BB1 и CC1 пересекаются в точке H. Из точки H провели перпендикуляры к прямым B1C1 и A1C1, которые пересекли лучи CA и CB в точках P и Q соответственно. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из точки C на прямую A1B1, проходит через середину отрезка PQ.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
|
Вписанная окружность треугольника ABC касается стороны AB в точке C'. Вписанная окружность треугольника ACC' касается сторон AB и AC в точках C1, B1; Вписанная окружность треугольника BCC', касается сторон AB и BC в точках C2, A2. Докажите, что прямые B1C1, A2C2 и CC' пересекаются в одной точке.
|
|
|
Сложность: 4
Классы: 10,11
|
Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM), ∠(LMB, LMN), ∠(MNC, MNK) и ∠(NKD, NKL) равны. (Через ∠(PQR, PQS) обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.
Страница:
<< 425 426 427 428
429 430 431 >> [Всего задач: 2266]
Фильтр
