Страница:
<< 43 44 45 46 47 48
49 >> [Всего задач: 241]
Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
На сторонах правильного девятиугольника $ABCDEFGHI$ во внешнюю сторону построили треугольники $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$. Известно, что углы $X$, $Y$, $Z$, $T$ этих треугольников равны $20^{\circ}$ каждый, а среди углов $XAB$, $YBC$, $ZCD$ и $TDE$ каждый следующий на $20^{\circ}$ больше предыдущего. Докажите, что точки $X$, $Y$, $Z$, $T$ лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
В клетчатом прямоугольнике 49×69 отмечены все
50
· 70
вершин клеток. Двое играют в следующую игру:
каждым своим ходом каждый игрок соединяет две точки отрезком,
при этом одна точка не может являться концом двух проведенных отрезков.
Отрезки могут содержать общие точки.
Отрезки проводятся до тех пор, пока точки не кончатся.
Если после этого первый может выбрать на всех проведенных отрезках направления
так, что сумма всех полученных векторов равна нулевому вектору, то он выигрывает, иначе выигрывает
второй. Кто выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны три прямые l1, l2, l3, образующие треугольник, и отмечена точка O – центр описанной окружности этого треугольника. Для произвольной точки X плоскости обозначим через Xi точку, симметричную точке X относительно прямой li, i = 1, 2, 3.
а) Докажите, что для произвольной точки M прямые, соединяющие середины отрезков O1O2 и M1M2, O2O3 и M2M3, O3O1 и M3M1, пересекаются в одной точке.
б) Где может лежать эта точка пересечения?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.
Страница:
<< 43 44 45 46 47 48
49 >> [Всего задач: 241]
Фильтр
