ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Годы:
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]      



Задача 78479

Тема:   [ Четырехугольник (неравенства) ]
Сложность: 3
Классы: 9,10

Из любых четырёх точек на плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой, можно так выбрать три, что треугольник с вершинами в этих точках имеет хотя бы один угол, не больший 45o. Доказать. (Сравните с задачей 2 для 10 класса.)
Прислать комментарий     Решение


Задача 78484

Тема:   [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 3
Классы: 10

Дан произвольный треугольник ABC. Найти множество всех таких точек M, что перпендикуляры к прямым AM, BM, CM, проведённые из точек A, B, C (соответственно), пересекаются в одной точке.
Прислать комментарий     Решение


Задача 78492

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3
Классы: 7,8

Система точек, соединённых отрезками, называется "связной", если из каждой точки можно пройти в любую другую по этим отрезкам. Можно ли соединить пять точек в связную систему так, чтобы при стирании любого отрезка образовались ровно две связные системы точек, не связанные друг с другом? (Мы считаем, что в местах пересечения отрезков переход с одного из них на другой невозможен.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 78502

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Доказать, что при нечётном n > 1 уравнение  xn + yn = zn  не может иметь решений в целых числах, для которых  x + y  – простое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78507

Темы:   [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11

Доказать, что не существует попарно различных натуральных чисел x, y, z, t, для которых было бы справедливо соотношение  xx + yy = zz + tt.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 55 56 57 58 59 60 61 >> [Всего задач: 1957]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .