Версия для печати
Убрать все задачи

---

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

   Решение

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105133

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Формулы сокращенного умножения (прочее) ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Про положительные числа a, b, c известно, что  ¹/_a + ¹/_b + ¹/_c ≥ a + b + c.  Докажите, что  a + b + c ≥ 3abc.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105150

Темы:   [ Перегруппировка площадей ] [ Касающиеся окружности ] [ Три окружности одного радиуса ] [ Площади криволинейных фигур ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Хулиганы Джей и Боб на уроке черчения нарисовали головастиков (четыре окружности на рисунке - одного радиуса, треугольник - равносторонний, горизонтальная сторона этого треугольника - диаметр окружности). Какой из головастиков имеет бо'льшую площадь?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105156

Темы:   [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Существуют ли такие натуральные числа a, b и c, что у каждого из уравнений  ax² + bx + c = 0,  ax + bx – c = 0,  ax² – bx + c = 0,  ax² – bx – c = 0  оба корня – целые?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105157

Темы:   [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

По рёбрам выпуклого многогранника с 2003 вершинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой из частей, на которые эта ломаная делит поверхность многогранника, количество граней с нечётным числом сторон нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 105162

Темы:   [ Тождественные преобразования ] [ Разложение на множители ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Для положительных чисел x, y, z выполнено равенство  ^x²/_y + ^y²/_z + ^z²/_x = ^x²/_z + ^y²/_x + ^z²/_y.  Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между собой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 137 138 139 140 141 142 143 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями