В выпуклой n-угольной призме равны все боковые грани. При каких n эта призма обязательно прямая?

   Решение

Докажите, что  cos²(/2) = p(p - a)/bc и  sin²(/2) = (p - b)(p - c)/bc.

   Решение

На 2016 красных и 2016 синих карточках написаны положительные числа, все они различны. Известно, что на карточках какого-то одного цвета написаны попарные суммы каких-то 64 чисел, а на карточках другого цвета – попарные произведения тех же 64 чисел. Всегда ли можно определить, на карточках какого цвета написаны попарные суммы?

   Решение

Можно ли в прямоугольной таблице 5×10 так расставить числа, чтобы сумма чисел каждой строки равнялась бы 30, а сумма чисел каждого столбца равнялась бы 10?

   Решение

Существуют ли такие натуральные n и k, что десятичная запись числа 2ⁿ начинается числом 5^k, а десятичная запись числа 5ⁿ начинается числом 2^k?

   Решение

Пусть  f(x) = (x – a)(x – b)(x – c)  – многочлен третьей степени с комплексными корнями a, b, c.
Докажите, что корни производной этого многочлена лежат внутри треугольника с вершинами в точках a, b, c.

   Решение

На сторонах AB и CD четырехугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND. Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM — в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

   Решение

Среди своих старых рисунков Катя нашла несколько картинок с разноцветным зонтиком. Катя помнит, что рисовала один и тот же зонтик (вид сверху), только повёрнутый по-разному. К сожалению, от времени краска частично выцвела.

Помогите Кате восстановить, в каком порядке располагались цвета на зонтике, если идти от 1 (розового) по часовой стрелке.

   Решение

Потроить треугольник по высоте к стороне a h_a, медиане к стороне a m_a и высоте к стороне b h_b.

   Решение

Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают.

   Решение

Доказать, что квадрат любого простого числа  p > 3  при делении на 12 даёт в остатке 1.

   Решение

Докажите, что площадь любой грани тетраэдра меньше суммы площадей трёх остальных его граней.

   Решение

Докажите, что касательные к параболе 4y = x² в точках (2t₁, t²₁) и (2t₂, t₂²) пересекаются в точке (t₁ + t₂, t₁, t₂).

   Решение

Потроить треугольник по сторонам a и b и медиане к стороне c m_c.

   Решение

Про семь натуральных чисел известно, что сумма любых шести из них делится на 5. Докажите, что каждое из этих чисел делится на 5.

   Решение

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие его стороны в отношениях  BA₁ : A₁C = p, CB₁ : B₁A = q и  AC₁ : C₁B = r. Точки пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ расположены так, как показано на рис. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]      

В треугольнике ABC точка E — середина стороны BC, точка D лежит на стороне AC, AC = 1, BAC = 60^o, ABC = 100^o, ACB = 20^o и  DEC = 80^o (рис.). Чему равна сумма площади треугольника ABC и удвоенной площади треугольника CDE?

Прислать комментарий

Решение

В треугольник  T_a = A₁A₂A₃ вписан треугольник  T_b = B₁B₂B₃, а в треугольник T_b вписан треугольник  T_c = C₁C₂C₃, причем стороны треугольников T_a и T_c параллельны. Выразите площадь треугольника T_b через площади треугольников T_a и T_c.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие его стороны в отношениях  BA₁ : A₁C = p, CB₁ : B₁A = q и  AC₁ : C₁B = r. Точки пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ расположены так, как показано на рис. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

Прислать комментарий

Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O. Докажите, что  S_AOB = S_COD тогда и только тогда, когда  BC || AD.

Прислать комментарий

Решение

а) Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Известны площади треугольников ABP, BCP, CDP. Найдите площадь треугольника ADP.
б) Выпуклый четырехугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами. Докажите, что произведение этих чисел представляет собой точный квадрат.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 69]