Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 5. Треугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 23 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Из полоски бумаги шириной 1 см склеили цилиндрическое кольцо с длиной окружности 4 см. Можно ли из этого кольца изготовить квадрат, имеющий площадь: а) 1 кв.см; б) 2 кв.см. Бумагу разрешается склеивать, складывать, но НЕЛЬЗЯ резать.

Вниз   Решение

Автор: Рожкова М.

Квадрат ABCD вписан в окружность. Точка M лежит на дуге BC, прямая AM пересекает BD в точке P, прямая DM пересекает AC в точке Q.
Докажите, что площадь четырёхугольника APQD равна половине площади квадрата.

ВверхВниз   Решение

Последовательность чисел x0, x1, x2,...задается условиями

x0 = 1,        xn + 1 = axn    (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Найдите наибольшее число a, для которого эта последовательность имеет предел. Чему равен этот предел для такого a?

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

На плоскости начерчен треугольник и в нём отмечены две точки. Известно, что какой-то из углов треугольника равен 58°, какой-то из остальных – 59°, какая-то из отмеченных точек является центром вписанной окружности, а другая – центром описанной. Используя только линейку без делений, определите, где какой угол и где какая точка.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что если M' и N' — образы многоугольников M и N при аффинном преобразовании, то отношение площадей M и N равно отношению площадей M' и N'.

ВверхВниз   Решение

Решите уравнение  3x + 5y = 7  в целых числах.

ВверхВниз   Решение

Дано 25 чисел. Известно, что сумма любых четырёх из них положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

В пространстве отмечены пять точек. Известно, что это центры сфер, четыре из которых попарно касаются извне и касаются изнутри пятой сферы. При этом невозможно определить, какая точка является центром объемлющей сферы. Найдите отношение радиусов наибольшей и наименьшей сферы.

ВверхВниз   Решение

Может ли прямая пересекать (во внутренних точках) все стороны невыпуклого:
  а) (2n+1)-угольника;  б) 2n-угольника?

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Высоты AA' и BB' треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки X и Y – середины отрезков AB и CH соответственно.
Доказать, что прямые XY и A'B' перпендикулярны.

ВверхВниз   Решение

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

ВверхВниз   Решение

Найдите углы выпуклого четырёхугольника ABCD, в котором $ \angle$BAC = 30o, $ \angle$ACD = 40o, $ \angle$ADB = 50o, $ \angle$CBD = 60o и $ \angle$ABC + $ \angle$ADC = 180o.

ВверхВниз   Решение

На прямой даны точки А, В и, кроме того, 57 точек, лежащих вне отрезка АВ. Каждая из этих 57 точек – либо красного, либо синего цвета. Рассмотрим следующие суммы:
  S1 – сумма расстояний от точки А до всех красных точек плюс сумма расстояний от точки В до всех синих точек;
  S2 – сумма расстояний от точки А до всех синих точек плюс сумма расстояний от точки В до всех красных точек.
Доказать, что  S1 ≠ S2.

ВверхВниз   Решение


Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу, равна 9.6. Из вершины C прямого угла восставлен к плоскости треугольника ABC перпендикуляр CM, причем CM = 28. Найдите расстояние от точки M до гипотенузы AB.

ВверхВниз   Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника ABCDEF попарно параллельны. Докажите, что:
а) площадь треугольника ACE составляет не менее половины площади шестиугольника.
б) площади треугольников ACE и BDF равны.

ВверхВниз   Решение

Решите в целых числах уравнение  1990x – 173y = 11.

ВверхВниз   Решение

Известно, что выражение  14x + 13y  делится на 11 при некоторых целых x и y. Докажите, что  19x + 9y  также делится на 11 при таких x и y.

ВверхВниз   Решение

Придайте смысл равенству   = (–1)1/i ≈ 231/7.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что для любого натурального n число  62(n+1) − 2n+3·3n + 2 + 36  делится на 900.

ВверхВниз   Решение

Даны три точки A, B и C. Постройте три окружности, попарно касающиеся в этих точках.

ВверхВниз   Решение

В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся его сторон в точках  A1, B1, C1. Докажите, что если треугольники ABC и A1B1C1 подобны, то треугольник ABC правильный.

ВверхВниз   Решение

Существует ли треугольник с высотами, равными 1, 2 и 3?

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB1 и ACC1 пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то $ \angle$A = 60o.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 176]      

  с решениями  

Задача 56866  (#05.033B)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если описанные окружности треугольников ABB1 и ACC1 пересекаются в точке, лежащей на стороне BC, то $ \angle$A = 60o.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56867  (#05.032)

Темы:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

а) Докажите, что если угол A треугольника ABC равен  120o, то центр описанной окружности и ортоцентр симметричны относительно биссектрисы внешнего угла A.
б) В треугольнике ABC угол A равен  60o; O — центр описанной окружности, H — ортоцентр, I — центр вписанной окружности, а Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что IO = IH и IaO = IaH.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56868  (#05.033)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC угол A равен  120o. Докажите, что из отрезков длиной a, b, b + c можно составить треугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56869  (#05.034)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 5
Классы: 8,9

В остроугольном треугольнике ABC с углом A, равным  60o, высоты пересекаются в точке H.
а) Пусть M и N — точки пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам BH и CH со сторонами AB и AC соответственно. Докажите, что точки M, N и H лежат на одной прямой.
б) Докажите, что на той же прямой лежит центр O описанной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 56870  (#05.035)

Тема:   [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

В треугольнике ABC проведены биссектрисы BB1 и CC1. Докажите, что если  $ \angle$CC1B1 = 30o, то либо  $ \angle$A = 60o, либо  $ \angle$B = 120o.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 176]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .