Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 6. Многоугольники
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 24 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Решить в целых числах уравнение  x² = 14 + y².

Вниз   Решение

а) Сколькими способами можно разбить 15 человек на три команды по пять человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать из 15 человек две команды по пять человек в каждой?

ВверхВниз   Решение

Может ли сумма цифр точного квадрата равняться 1970?

ВверхВниз   Решение

Автор: Tran Quang Hung

Дан треугольник ABC и точка P. Точки A', B', C' – проекции P на прямые BC, CA, AB. Прямая, проходящая через P и параллельная AB, вторично пересекает описанную окружность треугольника PA'B' в точке C1. Точки A1, B1 определены аналогично. Докажите, что
  а) прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке;
  б) треугольники ABC и A1B1C1 подобны.

ВверхВниз   Решение

Пусть p и q – различные простые числа. Докажите, что
  а)  pq + qp ≡ p + q (mod pq);

  б)   – чётное число, если  p, q ≠ 2.

ВверхВниз   Решение

Пусть P(xn) делится на  x – 1.  Докажите, что P(xn) делится на  xn – 1.

ВверхВниз   Решение

Найдите наименьшее число, записываемое одними единицами, делящееся на (в записи 100 троек).

ВверхВниз   Решение

Решить в целых числах уравнение  x² + y² = 4z – 1.

ВверхВниз   Решение

а) Дано шестизначное число  abcdef,  причём  abc + def  делится на 37. Докажите, что и само число делится на 37.
б) Сформулируйте и докажите признак делимости на 37.

ВверхВниз   Решение

Автор: Заславский А.А.

Даны точки A, B. Найдите геометрическое место таких точек C, что C, середины отрезков AC, BC и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на одной окружности.

ВверхВниз   Решение

С помощью двусторонней линейки постройте центр данной окружности, диаметр которой больше ширины линейки.

ВверхВниз   Решение

Найдите наименьшее натуральное число, делящееся на 36, в записи которого встречаются все 10 цифр.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что квадрат можно разрезать на n квадратов для любого n, начиная с шести.

ВверхВниз   Решение

Даны две параллельные прямые и отрезок, лежащий на одной из них. Удвойте этот отрезок с помощью одной линейки.

ВверхВниз   Решение

Сколькими способами можно расселить 15 гостей в четырёх комнатах, если требуется, чтобы ни одна из комнат не осталась пустой?

ВверхВниз   Решение

Докажите, что число  30239 + 23930  составное.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A1...A30 следующие тройки диагоналей:
  а) A1A7, A2A9, A4A23;
  б) A1A7, A2A15, A4A29;
  в) A1A13, A2A15, A10A29
пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Из стакана молока три ложки содержимого переливают в стакан с чаем и небрежно помешивают. Затем зачёрпывают три ложки полученной смеси и переливают их обратно в стакан с молоком. Чего теперь больше: чая в стакане с молоком или молока в стакане с чаем?

ВверхВниз   Решение

Автор: Швецов Д.В.

На высоте BD треугольника ABC взята такая точка E, что  ∠AEC = 90°.  Точки O1 и O2 – центры описанных окружностей треугольников AEB и CEB; F, L – середины отрезков AC и O1O2. Докажите, что точки L, E, F лежат на одной прямой.

ВверхВниз   Решение

В треугольнике ABC стороны равны a, b, c; соответственные углы (в радианах) равны  $ \alpha$,$ \beta$,$ \gamma$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$ $\displaystyle \leq$ $\displaystyle {\frac{a\alpha +b\beta +c\gamma }{a+b+c}}$ < $\displaystyle {\frac{\pi}{2}}$.


ВверхВниз   Решение

Сколько имеется четырёхзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них – 97?

ВверхВниз   Решение

Автор: Белухов Н.

Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 110]      

  с решениями  

Задача 57075  (#06.062)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Раскраски ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 5
Классы: 9

Автор: Васильев Н.Б.

Вершины правильного n-угольника окрашены в несколько цветов так, что точки каждого цвета служат вершинами правильного многоугольника.
Докажите, что среди этих многоугольников найдутся два равных.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57076  (#06.063)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Теорема синусов ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тригонометрический круг ]
Сложность: 5
Классы: 9

Докажите, что при  n ≥ 6  правильный (n–1)-угольник нельзя так вписать в правильный n-угольник, чтобы на всех сторонах n-угольника, кроме одной, лежало ровно по одной вершине (n–1)-угольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 55373  (#06.064)

Темы:   [ Поворот помогает решить задачу ]
[ Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Векторы сторон многоугольников ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Пусть О – центр правильного многоугольника A1A2A3...An,  X – произвольная точка плоскости. Докажите, что:
   a)  


   б)   

Прислать комментарий     Решение

Задача 78798  (#06.065)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные проекции ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что можно расставить в вершинах правильного n-угольника действительные числа x1, x2, ..., xn, все отличные от 0, так, чтобы для любого правильного k-угольника, все вершины которого являются вершинами исходного n-угольника, сумма чисел, стоящих в его вершинах, равнялась 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57079  (#06.066)

Темы:   [ Правильные многоугольники ]
[ Неравенства с векторами ]
[ Центр масс ]
Сложность: 3
Классы: 9

Точка A лежит внутри правильного десятиугольника X1...X10, а точка B — вне его. Пусть  a = + ... +   и  b = + ... + .
Может ли оказаться, что  |a| > |b| ?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 12 13 14 15 16 17 18 >> [Всего задач: 110]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .