Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Все источники >> Книги, журналы >> Прасолов В.В., Задачи по планиметрии >> глава 18. Поворот
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 25 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin2$ \alpha$ + sin2$ \beta$ + sin2$ \gamma$ = (p2 - r2 - 4rR)/2R2.
б)  4R2cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$ = p2 - (2R + r)2.

Вниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  cos($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = (p - a)/4R;
б)  sin($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = ra/4R.

ВверхВниз   Решение

а)  ctg($ \alpha$/2) + ctg($ \beta$/2) + ctg($ \gamma$/2) $ \geq$ 3$ \sqrt{3}$.
б) Для остроугольного треугольника

tg$\displaystyle \alpha$ + tg$\displaystyle \beta$ + tg$\displaystyle \gamma$ $\displaystyle \geq$ 3$\displaystyle \sqrt{3}$.


ВверхВниз   Решение

а)  sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$ $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8;
б)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) $ \leq$ 3$ \sqrt{3}$/8.

ВверхВниз   Решение

Докажите тождество: 1 . 2 . 3 + 2 . 3 . 4 +...+ n(n + 1)(n + 2) = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{4}}$n(n + 1)(n + 2)(n + 3).

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любое движение второго рода является скользящей симметрией.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что любое движение первого рода является поворотом или параллельным переносом.

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Докажите, что композиция симметрий S = SACoSABoSBC является скользящей симметрией, для которой вектор переноса имеет длину 2R sin$ \alpha$sin$ \beta$sin$ \gamma$, где R — радиус описанной окружности, $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ — углы данного треугольника.

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S, точка P, расположенная вне S, и прямая l, проходящая через P и пересекающая окружность в точках A и B. Точку пересечения касательных к окружности в точках A и B обозначим через K.
а) Рассмотрим всевозможные прямые, проходящие через P и пересекающие AK и BK в точках M и N. Докажите, что геометрическим местом точек пересечения отличных от AK и BK касательных к S, проведенных из точек M и N, является некоторая прямая, проходящая через K, из которой выкинуто ее пересечение с внутренностью S.
б) Будем на окружности разными способами выбирать точку R и проводить прямую, соединяющую отличные от R точки пересечения прямых RK и RP с S. Докажите, что все полученные прямые проходят через одну точку, и эта точка лежит на l.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что

\begin{multline*} h_a=2(p-a)\cos(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\cos(\alpha /2)=\\ =2(p-b)\sin(\beta /2)\cos(\gamma /2)/\sin(\alpha /2). \end{multline*}


ВверхВниз   Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
tg$ \alpha$ + tg$ \beta$ + tg$ \gamma$ = tg$ \alpha$tg$ \beta$tg$ \gamma$.

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  a2n+1 + (a – 1)n+2  делится на  a² – a + 1  (a – целое, n – натуральное).

ВверхВниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  sin($ \alpha$/2)sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2) = r/4R;
б)  tg($ \alpha$/2)tg($ \beta$/2)tg($ \gamma$/2) = r/p;
в)  cos($ \alpha$/2)cos($ \beta$/2)cos($ \gamma$/2) = p/4R.

ВверхВниз   Решение

a1 = a2 = 1,  an+1 = anan–1 + 1.  Доказать, что an не делится на 4.

ВверхВниз   Решение

Факториальная система счисления. Докажите, что каждое натуральное число n может быть единственным образом представлено в виде

n = a1 . 1! + a2 . 2! + a3 . 3! +...,

где 0 $ \leqslant$ a1 $ \leqslant$ 1, 0 $ \leqslant$ a2 $ \leqslant$ 2, 0 $ \leqslant$ a3 $ \leqslant$ 3...

ВверхВниз   Решение

Даны окружность S, прямая l, точка M, лежащая на S и не лежащая на l, и точка O, не лежащая на S. Рассмотрим преобразование P прямой l, являющееся композицией проектирования l на S из M, S на себя из O и S на l из M, т. е. P(A) — пересечение прямых l и MC, где C — отличная от B точка пересечения S с прямой OB, а B — отличная от A точка пересечения S с прямой MA. Докажите, что преобразование P проективно.

ВверхВниз   Решение

В этой задаче мы будем рассматривать наборы из n прямых общего положения, т. е. наборы, в которых никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку.
Набору из двух прямых общего положения поставим в соответствие точку — их точку пересечения, а набору из трех прямых общего положения — окружность, проходящую через три точки пересечения. Если l1, l2, l3, l4 — четыре прямые общего положения, то четыре окружности Si, соответствующие четырем тройкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, проходят через одну точку (см. задачу 2.83, а)), которую мы и поставим в соответствие четверке прямых. Эту конструкцию можно продолжить.
а) Пусть li, i = 1,..., 5 — пять прямых общего положения. Докажите, что пять точек Ai, соответствующих четверкам прямых, получаемых отбрасыванием прямой li, лежат на одной окружности.
б) Докажите, что эту цепочку можно продолжить, поставив в соответствие каждому набору из n прямых общего положения точку при четном n и окружность при нечетном n, так, что n окружностей (точек), соответствующих наборам из n - 1 прямых, проходят через эту точку (лежат на этой окружности).

ВверхВниз   Решение

Прямая l делит площадь выпуклого многоугольника пополам. Докажите, что эта прямая делит проекцию данного многоугольника на прямую, перпендикулярную l, в отношении, не превосходящем  1 + .

ВверхВниз   Решение

Доказать, что  n² + 5n + 16  не делится на 169 ни при каком натуральном n.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что  11n+2 + 122n+1  делится на 133 при любом натуральном n.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что длину биссектрисы la можно вычислить по следующим формулам:
а)  la = $ \sqrt{4p(p-a)bc/(b+c)^2}$;
б)  la = 2bc cos($ \alpha$/2)/(b + c);
в)  la = 2R sin$ \beta$sin$ \gamma$/cos(($ \beta$ - $ \gamma$)/2);
г)  la = 4p sin($ \beta$/2)sin($ \gamma$/2)/(sin$ \beta$ + sin$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Пусть α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а)  ctg$ \alpha$ + ctg$ \beta$ + ctg$ \gamma$ = (a2 + b2 + c2)/4S;
б)  a2ctg$ \alpha$ + b2ctg$ \beta$ + c2ctg$ \gamma$ = 4S.

ВверхВниз   Решение

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A1, B1 и C1; точки A2, B2 и C2 симметричны этим точкам относительно биссектрис соответствующих углов треугольника. Докажите, что  A2B2 || AB  и прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Игра начинается с числа 2. За ход разрешается прибавить к имеющемуся числу любое натуральное число, меньшее его. Выигрывает тот, кто получит 1000.

ВверхВниз   Решение

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

Задача 57939  (#18.020)

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4
Классы: 9

Правильные треугольники ABC, CDE, EHK (вершины обходятся в направлении против часовой стрелки) расположены на плоскости так, что $ \overrightarrow{AD}$ = $ \overrightarrow{DK}$. Докажите, что треугольник BHD тоже правильный.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57940  (#18.021)

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 4+
Классы: 9

а) Для данного треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, найдите точку, сумма расстояний от которой до вершин минимальна.
б) Внутри треугольника ABC, все углы которого меньше  120o, взята точка O, из которой его стороны видны под углом  120o. Докажите, что сумма расстояний от точки O до вершин равна (a2 + b2 + c2)/2 + 2$ \sqrt{3}$S.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57941  (#18.021.1)

 [Теорема Помпею]
Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 9

Даны точка X и правильный треугольник ABC. Докажите, что из отрезков XA, XB и XC можно составить треугольник, причем этот треугольник вырожденный тогда и только тогда, когда точка X лежит на описанной окружности треугольника ABC (Помпею).
Прислать комментарий     Решение

Задача 57942  (#18.022)

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 9

Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность радиуса R, причем AB = CD = EF = R. Докажите, что середины сторон BC, DE и FA образуют правильный треугольник.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57943  (#18.023)

Тема:   [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
Сложность: 6
Классы: 9

На сторонах выпуклого центрально симметричного шестиугольника ABCDEF внешним образом построены правильные треугольники. Докажите, что середины отрезков, соединяющих вершины соседних треугольников, образуют правильный шестиугольник.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 53]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .