ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A0(x), A1(x), ..., As(x)  и  R1(x), ..., Rs(x),  что  degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
    Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
    R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
      ...
    Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
    Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и  (P(x), Q(x)) = Rs(x).

   Решение

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



Задача 60985  (#06.062)

 [Правило знаков Декарта]
Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Докажите, что количество положительных корней многочлена  f(x) = anxn + ... + a1x + a0  не превосходит числа перемен знака в последовательности  an, ..., a1, a0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60986  (#06.063)

Темы:   [ Многочлены (прочее) ]
[ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Симметрия и инволютивные преобразования ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Как правило знаков Декарта применить к оценке числа отрицательных корней многочлена  f(x) = anxn + ... + a1x + a0?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60987  (#06.064)

Темы:   [ Разложение на множители ]
[ Теорема Безу. Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Докажите, что многочлен  a³(b² – c²) + b³(c² – a²) + c³(a² – b²)  делится на  (b – c)(c – a)(a – b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60988  (#06.065)

Темы:   [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
[ Алгоритм Евклида ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что из равенства  P(x) = Q(x)T(x) + R(x)  следует соотношение  (P(x), Q(x)) = (Q(x), R(x)).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60989  (#06.066)

 [Алгоритм Евклида для многочленов]
Темы:   [ Алгоритм Евклида ]
[ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором  s ≥ 1  существуют такие многочлены  A0(x), A1(x), ..., As(x)  и  R1(x), ..., Rs(x),  что  degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
    P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
    Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
    R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
      ...
    Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
    Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и  (P(x), Q(x)) = Rs(x).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 45]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .