Версия для печати
Убрать все задачи

---

Про натуральные числа $x$, $y$ и $z$ известно, что $\operatorname{НОД}(x,y,z) = 1$ и $x^2+y^2+z^2=2(xy+yz+zx)$. Докажите, что $x$, $y$ и $z$ – квадраты натуральных чисел.

   Решение

---

В треугольнике ABC на стороне BC отмечена точка K. В треугольники ABK и ACK вписаны окружности, первая касается стороны BC в точке M, вторая – в точке N. Докажите, что  BM·CN > KM·KN.

   Решение

---

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

   Решение

---

Фома и Ерёма делят кучку из 25 монет в 1, 2, 3, ..., 25 алтынов. На каждом ходу один из них выбирает монету из кучки, а другой говорит, кому её отдать. Первый раз выбирает Фома, далее тот, у кого сейчас больше алтынов, при равенстве – тот же, кто в прошлый раз. Может ли Фома действовать так, чтобы в итоге обязательно получить больше алтынов, чем Ерёма, или Ерёма всегда сможет Фоме помешать?

   Решение

---

Назовём треугольник рациональным, если все его углы измеряются рациональным числом градусов. Назовём точку внутри треугольника рациональной, если при соединении её отрезками с вершинами мы получим три рациональных треугольника. Докажите, что внутри любого остроугольного рационального треугольника найдутся как минимум три различные рациональные точки.

   Решение

---

Дан квадрат ABCD, M и N – середины сторон BC и AD. На продолжении диагонали AC за точку A взяли точку K. Отрезок KM пересекает сторону AB
в точке L. Докажите, что углы KNA и LNA равны.

   Решение

---

Может ли наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., n быть в 2008 раз больше, чем наименьшее общее кратное целых чисел 1, 2, ..., m?

   Решение

---

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

   Решение

---

Алёша задумал натуральные числа $a, b, c$, а потом решил найти такие натуральные $x, y, z$, что  $a$ = НОК($x, y), b$ = НОК($x, z), c$ = НОК($y, z$).  Оказалось, что такие $x, y, z$ существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа $a$ и $b$. Докажите, что Боря может восстановить $c$.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 66849

Тема:   [ Многочлены (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли непостоянный многочлен $P(x)$, который можно представить в виде суммы  $a(x) + b(x)$,  где $a(x)$ и $b(x)$ – квадраты многочленов с действительными коэффициентами,
  а) ровно одним способом?
  б) ровно двумя способами?
Способы, отличающиеся лишь порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66852

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Три богатыря бьются со Змеем Горынычем. Илья Муромец каждым своим ударом отрубает Змею половину всех голов и ещё одну, Добрыня Никитич – треть всех голов и ещё две, Алёша Попович – четверть всех голов и ещё три. Богатыри бьют по одному в каком хотят порядке, отрубая каждым ударом целое число голов. Если ни один богатырь не может ударить (число голов получается нецелым), Змей съедает всех троих. Смогут ли богатыри отрубить все головы 41!-головому Змею?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66853

Темы:   [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли вписанный в окружность $N$-угольник, у которого нет одинаковых по длине сторон, а все углы выражаются целым числом градусов, если
  а)  $N$ = 19;
  б)  $N$ = 20?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66855

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66859

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Алёша задумал натуральные числа $a, b, c$, а потом решил найти такие натуральные $x, y, z$, что  $a$ = НОК($x, y), b$ = НОК($x, z), c$ = НОК($y, z$).  Оказалось, что такие $x, y, z$ существуют и определены однозначно. Алёша рассказал об этом Боре и сообщил ему только числа $a$ и $b$. Докажите, что Боря может восстановить $c$.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями