Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 15 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц?

Вниз   Решение


В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.

ВверхВниз   Решение


Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

ВверхВниз   Решение


Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла?

ВверхВниз   Решение


Докажите, что числа Ферма  fn = 22n + 1  при  n > 1  не представимы в виде суммы двух простых чисел.

ВверхВниз   Решение


Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

ВверхВниз   Решение


Докажите для положительных значений переменных неравенство  (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc.

ВверхВниз   Решение


n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1.

ВверхВниз   Решение


Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного.

ВверхВниз   Решение


Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:

a2(a1 - a2 + a3) < 0
a3(a2 - a3 + a4) < 0
.........    
a11(a10 - a11 + a12) < 0

Доказать, что среди этих чисел найдётся по крайней мере 3 положительных и 3 отрицательных.

ВверхВниз   Решение


Пусть  {pn} – последовательность простых чисел  (p1 = 2,  p2 = 3,  p3 = 5, ...).
  а) Докажите, что  pn > 2n  при  n ≥ 5.
  б) При каких n будет выполняться неравенство  pn > 3n?

ВверхВниз   Решение


В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$.

ВверхВниз   Решение


Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз.

ВверхВниз   Решение


Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



Задача 66957  (#21 [10-11 кл])

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Четырехугольники (построения) ]
[ Построения одной линейкой ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Ратаров Д.

В трапецию $ABCD$ можно вписать окружность и около неё можно описать окружность. От трапеции остались: вершина $A$, центр вписанной окружности $I$, описанная окружность $\omega$ и ее центр $O$. Восстановите трапецию с помощью одной лишь линейки.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66958  (#22 [10-11 кл])

Темы:   [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Круглые тела (прочее) ]
[ Максимальное/минимальное расстояние ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66959  (#23 [10-11 кл])

Темы:   [ Системы точек и отрезков (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

В пространстве даны шесть точек общего положения. Для каждых двух из них покрасим красным точки пересечения (если они есть) отрезка между ними и поверхности тетраэдра с вершинами в четырех оставшихся точках. Докажите, что число красных точек четно.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66960  (#24 [11 кл])

Темы:   [ Усеченная пирамида ]
[ Сферы (прочее) ]
[ Радикальная ось ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Изогональное сопряжение ]
[ Конус (прочее) ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11

В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$ R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2). $$
Прислать комментарий     Решение


Задача 66961  (#8.1)

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Центральный угол. Длина дуги и длина окружности ]
[ Ромбы. Признаки и свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В выпуклом четырехугольнике $ABCD$ центры описанной и вписанной окружностей треугольника $ABC$ совпадают соответственно с центрами вписанной и описанной окружностей треугольника $ADC$. Известно, что $AB=1$. Найдите длины остальных сторон и углы четырехугольника.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .