ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
![]()
классы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи На какое целое число надо умножить 999 999 999, чтобы получить число, состоящее из одних единиц? В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$. Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми? Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов. Существует ли тетраэдр, каждое ребро которого являлось бы стороной плоского тупого угла? Докажите, что числа Ферма fn = 22n + 1 при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел. Даны n комплексных чисел C1, C2,..., Cn, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что Докажите для положительных значений переменных неравенство (a + b + c)(a² + b² + c²) ≥ 9abc. n отрезков длины 1 пересекаются в одной точке. Доказать, что хотя бы одна сторона 2n-угольника, образованного их концами, не меньше стороны правильного 2n-угольника, вписанного в окружность диаметра 1. Дан треугольник ABC. Построим треугольник, стороны которого касаются вневписанных окружностей этого треугольника. Зная углы исходного треугольника, найти углы построенного. Даны 12 чисел, a1, a2,...a12, причём имеют место следующие неравенства:
Пусть {pn} – последовательность простых чисел (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, ...). В выпуклом пятиугольнике $ABCDE$ равны углы $CAB$, $BCA$, $ECD$, $DEC$ и $AEC$. Докажите, что середина $BD$ лежит на $CE$. Доказать, что шахматную доску размером 4 на 4 нельзя обойти ходом шахматного коня, побывав на каждом поле ровно один раз. Дан выпуклый многогранник и точка $K$, не принадлежащая ему. Для каждой точки $M$ многогранника строится шар с диаметром $MK$. Докажите, что в многограннике существует единственная точка, принадлежащая всем таким шарам. a, b, c ≥ 0. Докажите, что (a + b)(a + c)(b + c) ≥ 8abc. Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$. |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]
Через вершины треугольника $ABC$ проведены параллельные прямые $l_a$, $l_b$, $l_c$. Пусть прямая $a$ симметрична высоте $AH_a$ относительно $l_a$. Аналогично определяем $b$, $c$. Докажите, что $a$, $b$, $c$ пересекаются в одной точке.
Участники тараканьих бегов бегут по окружности в одном направлении, стартовав одновременно из точки $S$. Таракан $A$ бежит вдвое медленнее, чем $B$, и втрое медленнее, чем $C$. Точки $X$, $Y$ на отрезке $SC$ таковы, что $SX=XY=YC$. Прямые $AX$ и $BY$ пересекаются в точке $Z$. Найдите ГМТ пересечения медиан треугольника $ZAB$.
В остроугольном треугольнике $ABC$ высоты $AH$ и $CH$ пересекают стороны $BC$ и $AB$ в точках $A_1$ и $C_1$. Точки $A_2$ и $C_2$ симметричны относительно $AC$ точкам $A_1$ и $C_1$. Докажите, что расстояние между центрами описанных окружностей треугольников $C_2HA_1$ и $C_1HA_2$ равно $AC$.
Пусть $A_1$, $A_2$, $A_3$, $A_4$ и $B_1$, $B_2$, $B_3$, $B_4$ – две четверки точек, не лежащих на одной окружности. Известно, что для любых $i$, $j$, $k$ радиусы описанных окружностей треугольников $A_iA_jA_k$ и $B_iB_jB_k$ равны. Обязательно ли $A_iA_j=B_iB_j$ для любых $i$, $j$?
Дан остроугольный треугольник $ABC$. Точка $P$ выбрана так, что $AP=AB$ и $PB \parallel AC$. Точка $Q$ выбрана так, что $AQ=AC$ и $CQ \parallel AB$. Отрезки $CP$ и $BQ$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что центр описанной окружности треугольника $ABC$ лежит на окружности $(PXQ)$.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке