Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стене висят двое правильно идущих совершенно одинаковых часов. Одни показывают московское время, другие – местное. Минимальное расстояние между концами их часовых стрелок равно m, а максимальное – M. Найдите расстояние между центрами этих часов.

   Решение

---

Набор чисел  A₁, A₂, ..., A₁₀₀  получен некоторой перестановкой из чисел 1, 2, ..., 100. Образуют сто чисел:
      B₁ = A₁,  B₂ = A₁ + A₂,  B₃ = A₁ + A₂ + A₃,  ...,  B₁₀₀ = A₁ + A₂ + A₃ + ... + A₁₀₀.
Докажите, что среди остатков от деления на 100 чисел  B₁, B₂, ..., B₁₀₀  найдутся 11 различных.

   Решение

---

а) В тридевятом царстве $n$ городов. Иван-царевич строит дороги по одной (сначала дорог нет). Каждый раз он выбирает два города, не соединённых напрямую дорогой, расстояние между которыми наименьшее, и соединяет их прямолинейной дорогой. Строительство заканчивается, когда становится возможным проехать из любого города в любой (напрямую или через другие города). Обязательно ли никакие две построенные дороги не будут пересекаться вне городов?
б) Тот же вопрос, если каждый раз выбираются два ближайших друг к другу города, между которыми невозможен проезд (даже через другие города).

   Решение

---

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

   Решение

Страница: << 329 330 331 332 333 334 335 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67023

Темы:   [ Многоугольники (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Простые числа и их свойства ] [ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны выпуклый многоугольник $M$ и простое число $p$. Оказалось, что существует ровно $p$ способов разбить $M$ на равносторонние треугольники со стороной 1 и квадраты со стороной 1.
Докажите, что длина одной из сторон многоугольника $M$ равна  $p$ – 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67054

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

На столе в ряд лежат 20 плюшек с сахаром и 20 с корицей в произвольном порядке. Малыш и Карлсон берут их по очереди, начинает Малыш. За ход можно взять одну плюшку с любого края. Малыш хочет, чтобы ему в итоге досталось по десять плюшек каждого вида, а Карлсон пытается ему помешать. При любом ли начальном расположении плюшек Малыш может достичь своей цели, как бы ни действовал Карлсон?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67085

Темы:   [ Максимальное/минимальное расстояние ] [ Стереометрия (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Звездолёт находится в полупространстве на расстоянии $a$ от его границы. Экипаж знает об этом, но не представляет, в каком направлении двигаться, чтобы достигнуть граничной плоскости. Звездолёт может лететь в пространстве по любой траектории, измеряя длину пройденного пути, и имеет датчик, подающий сигнал, когда граница достигнута. Может ли звездолёт гарантированно достигнуть границы, преодолев путь длиной

а) не более $14а$;

б) не более $13а$?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67597

Темы:   [ Системы линейных уравнений ] [ Комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

У Пети есть $60$ карточек с номерами от $1$ до $60$, на каждой написано действительное число. За один вопрос Вася может выбрать любые $17$ номеров и узнать у Пети сумму чисел на карточках с этими номерами. Может ли Вася гарантированно определить сумму чисел на всех $60$ карточках, задав

а) не более $30$ вопросов;

б) не более $20$ вопросов;

в) не более $10$ вопросов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97769

Темы:   [ Двоичная система счисления ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 329 330 331 332 333 334 335 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями