Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65674

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Средняя линия треугольника ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Точка O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Прямая, перпендикулярная стороне AC, пересекает сторону BC и прямую AB в точках Q и P соответственно. Докажите, что точки B, O и середины отрезков AP и CQ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65678

Темы:   [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65679

Темы:   [ Теорема Виета ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Уравнение с целыми коэффициентами  x⁴ + ax³ + bx² + cx + d = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.
Найдите наименьшее возможное значение коэффициента b при этих условиях.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65689

Темы:   [ Взвешивания ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Имеются чашечные весы, которые находятся в равновесии, если разность масс на их чашах не превосходит 1 г, а также гири массами ln 3, ln 4, ..., ln 79 г.
Можно ли разложить все эти гири на чаши весов так, чтобы весы находились в равновесии?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66084

Темы:   [ Раскраски ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Все натуральные числа, бóльшие единицы, раскрасили в два цвета – синий и красный – так, что сумма каждых двух синих (в том числе одинаковых) – синяя, а произведение каждых двух красных (в том числе одинаковых) – красное. Известно, что при раскрашивании были использованы оба цвета и что число 1024 покрасили в синий цвет. Какого цвета при этом могло оказаться число 2017?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 201 202 203 204 205 206 207 >> [Всего задач: 1984]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями