Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что  AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Даны многочлен P(x) и такие числа  a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃,  что  a₁a₂a₃ ≠ 0.  Оказалось, что  P(a₁x + b₁) + P(a₂x + b₂) = P(a₃x + b₃)  для любого действительного x. Докажите, что P(x) имеет хотя бы один действительный корень.

   Решение

---

Клетчатая плоскость раскрашена в шахматном порядке в чёрный и белый цвета. Затем белые клетки снова раскрашены в красный и синий цвета так, чтобы клетки, соседние по углу, были разноцветными. Пусть l – прямая, не параллельная сторонам клеток. Для каждого отрезка I, параллельного l, посчитаем разность сумм длин его красных и синих участков. Докажите, что существует число C (зависящее только от прямой l) такое, что все полученные разности не превосходят C.

   Решение

---

Два игрока по очереди проводят диагонали в правильном (2n+1)-угольнике  (n > 1).  Разрешается проводить диагональ, если она пересекается (по внутренним точкам) с чётным числом ранее проведённых диагоналей (и не была проведена раньше). Проигрывает игрок, который не может сделать очередной ход. Кто выиграет при правильной игре?

   Решение

---

В кинотеатре семь рядов по 10 мест каждый. Группа из 50 детей сходила на утренний сеанс, а потом на вечерний.
Докажите, что найдутся двое детей, которые на утреннем сеансе сидели в одном ряду и на вечернем тоже сидели в одном ряду.

   Решение

---

Покажите, как разрезать фигуру, изображенную на верхнем рисунке, на три равные части и сложить из этих частей правильный шестиугольник, изображенный на нижнем рисунке. Оставлять дырки и накладывать части друг на друга нельзя.

   Решение

---

Аудитория имеет форму правильного шестиугольника со стороной 3 м. В каждом углу установлен храпометр, определяющий число спящих студентов на расстоянии, не превышающем 3 м. Сколько всего спящих студентов в аудитории, если сумма показаний храпометров равна 7?

   Решение

---

Офеня купил на оптовом рынке партию ручек и предлагает покупателям либо одну ручку за 5 рублей, либо три ручки за 10 рублей. От каждого покупателя Офеня получает одинаковую прибыль. Какова оптовая цена ручки?

   Решение

Страница: << 203 204 205 206 207 208 209 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 76547

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Из двухсот чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ..., 199, 200 произвольно выбрали сто одно число.
Доказать, что среди выбранных чисел найдутся два, из которых одно делится на другое.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77868

Темы:   [ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ] [ Десятичная система счисления ] [ Произведения и факториалы ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Сколько цифр имеет число 2¹⁰⁰?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77876

Тема:   [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Найти все рациональные положительные решения уравнения  x^y = y^x  (x ≠ y).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77885

Темы:   [ Уравнения в целых числах ] [ Метод спуска ] [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Найти такие целые числа x, y, z и t, что  x² + y² + z² + t² = 2xyzt.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77894

Темы:   [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Если имеется 100 любых целых чисел, то среди них всегда можно взять несколько (или может быть одно) так, что в сумме они дадут число, делящееся на 100. Доказать.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 203 204 205 206 207 208 209 >> [Всего задач: 1957]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями