Страница: << 316 317 318 319 320 321 322 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64717

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

Радикалом натурального числа N (обозначается rad(N)) называется произведение всех простых делителей числа N, взятых по одному разу. Например,
rad(120) = 2·3·5 = 30.  Существует ли такая тройка попарно взаимно простых натуральных чисел A, B, C, что  A + B = C  и  C > 1000 rad(ABC)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64718

Темы:   [ Инварианты ] [ Процессы и операции ] [ Центральная симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64723

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Признаки подобия ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Комплексные числа в геометрии ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Дан треугольник, у которого нет равных углов. Петя и Вася играют в такую игру: за один ход Петя отмечает точку на плоскости, а Вася красит её по своему выбору в красный или синий цвет. Петя выиграет, если какие-то три из отмеченных им и покрашенных Васей точек образуют одноцветный треугольник, подобный исходному. За какое наименьшее число ходов Петя сможет гарантированно выиграть (каков бы ни был исходный треугольник)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64727

Темы:   [ Теория графов (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

В королевстве некоторые пары городов соединены железной дорогой. У короля есть полный список, в котором поименно перечислены все такие пары (каждый город имеет свое собственное имя). Оказалось, что для любой упорядоченной пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, а король не заметил бы изменений. Верно ли, что для любой пары городов принц может переименовать все города так, чтобы первый город оказался названным именем второго города, второй город оказался названным именем первого города, а король не заметил бы изменений?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64731

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Сочетания и размещения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

У повара в подчинении десять поварят, некоторые из которых дружат между собой. Каждый рабочий день повар назначает одного или нескольких поварят на дежурство, а каждый из дежурных поварят уносит с работы по одному пирожному каждому своему недежурящему другу. В конце дня повар узнает количество пропавших пирожных. Сможет ли он за 45 рабочих дней понять, кто из поварят дружит между собой, а кто нет?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 316 317 318 319 320 321 322 >> [Всего задач: 2003]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями